Kontinuerlig funktion

Att en funktion är kontinuerlig betyder att den är sammanhängande.

Denna funktion är inte kontinuerlig i punkten $x_0$ eftersom den där gör ett hopp.

Det som är kontinuerligt är något som är utan avbrott, ett flytande sammanhang utan fasta hållpunkter, utan att vara uppdelat i steg. De matematiska strukturer som inte är kontinuerliga kallas diskreta.

Inom matematiken är en storhet som är kontinuerlig en storhet som är sådan att man alltid kan finna en annan storhet som skiljer sig från den förra med en kvantitet som är mindre än någon ändlig storhet.

Topologi är den gren av matematiken som studerar kontinuerliga funktioner.

Exempel

• En funktion definierad på en delmängd av de reella talen är kontinuerlig om den har ett gränsvärde för ett godtyckligt x=x₀ i (det inre av) definitionsmängden, det vill säga om gränsvärdet $\lim_{x\to x_0}f(x)$ existerar, och detta är lika med $f(x_0)$.

Definition av kontinuerlig funktion på reella tallinjen

En funktion f av en variabel är:

• kontinuerlig i punkten x om det för alla ε > 0 existerar ett δ > 0 sådant att |x-y| < δ medför |f(x)-f(y)| < ε.
• kontinuerlig i ett intervall [a, b] om den är kontinuerlig i alla punkter i intervallet.

Definition av kontinuerlig funktion mellan metriska rum

Om $(X,d_x), (Y,d_y)$ är metriska rum är funktionen $f: X \rightarrow Y$ kontinuerlig i x om det för alla ε > 0 existerar ett δ > 0 så att $d_x(x,y) < \delta \Rightarrow d_y(f(x), f(y)) < \epsilon$.

Definition av kontinuerlig funktion mellan topologiska rum

För allmänna topologiska rum gäller att en funktion $f: X \rightarrow Y$ är kontinuerlig om urbilden av varje öppen mängd i Y är öppen i X. Det vill säga för alla öppna $U \subset Y$ gäller att $f^{-1}(U)$ är öppen i X.

Man säger att f är kontinuerlig i punkten x om det för varje omgivning V till f(x) finns en omgivning U till x, sådan att $f(U) \subset V$. Om X och Y är metriska rum, är denna definition ekvivalent med den klassiska "$\epsilon - \delta$"definitionen:

Riktad kontinuerlighet

en högerkontinuerlig funktion

En funktion kan vara kontinuerlig i endast en riktning.

Se även

• Kontinuum
• Lipschitz-kontinuitet
• Likformig kontinuitet

Matematikportalen — portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.