Kovarians (sannolikhetsteori)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kovarians är ett statistiskt mått på samvariationen mellan två stokastiska variabler (även kallat slumpvariabler).

Kovariansen mellan två reellvärda stokastiska variabler X och Y, med väntevärde E(X)=\mu och E(Y)=\nu definieras som

\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{E}[(X - \mu) (Y - \nu)].

där  \operatorname{E} betecknar väntevärde. Om X = Y fås den stokastiska variabelns varians (dvs slumpvariabelns varians).

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om två stokastiska variabler har kovarians = noll, sägs dessa vara okorrelerade. Av definitionen följer direkt att två oberoende stokastiska variabler även är okorrelerade. Däremot gäller inte omvändningen: två stokastiska variabler kan vara okorrelerade utan att vara oberoende. I särskilda fall, t. ex. om de två stokastiska variablerna är multivariat normalfördelade råder dock ekvivalens.

Kovariansen är även bilinjär, och uppfyller en mängd räkneregler:

 \operatorname{Cov}(X,X) = \operatorname{Var}(X) \,
\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{Cov}(Y, X)\,
\operatorname{Cov}(aX, bY) = ab\, \operatorname{Cov}(X, Y)\,
\operatorname{Cov}(X+a, Y+b) = \operatorname{Cov}(X, Y)\,
\operatorname{Cov}(aX+bY, cW+dV) = ac\,\operatorname{Cov}(X,W)+ad\,\operatorname{Cov}(X,V)+bc\,\operatorname{Cov}(Y,W)+bd\,\operatorname{Cov}(Y,V)\,

Eftersom variansen för en stokastisk variabel alltid är större än noll, utom om den är konstant (deterministisk), så gör symmetrin och bilinjäriteten att kovariansen definierar en inre produktvektorrummet av stokastiska variabler med ändligt andramoment.

Se även[redigera | redigera wikitext]