Kummersumma

Inom matematiken är en Kummersumma en viss slags kubisk Gaussumma för ett primtal p kongruent 1 modulo 3. De är uppkallade efter Ernst Kummer, som gjorde en förmodan om statistiska egenskaper av deras argument. Dessa summor var kända och användes före Kummer i teorin av cyklotomi.

Definition

En Kummersumma är en ändlig summa av formen

$\Sigma \chi (r)e(r/p)=G(\chi )$

tagen över r modulo p, där χ är en Dirichletkaraktär vars värden är kubrötter av 1, och där e(x) är exponentialfunktionen exp(2πix). Givet p i formen ovan finns det bara två sådana karaktärer tillsammans med den triviala karaktären.

Den kubiska exponentiella summan K(n,p) definierad som

$K(n,p)=\sum _{x=1}^{p}e(nx^{3}/p)$

kan lätt ses vara en linjär kombination av Kummersummor. Den är lika med 3P där P är en viss Gaussisk period för delgruppen av index 3 i resterna mod p under multiplikation.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Kummer sum, 31 maj 2014.

• Branson, Mark, The solutions of X³+Y³+Z³=0 and Kummer's conjecture, arkiverad från ursprungsadressen den 2012-02-04, https://web.archive.org/web/20120204114618/http://www.math.sunysb.edu/~mbranson/papers/kummer.pdf, läst 31 maj 2014 
• Bredikhin, B.M. (2001), ”Kummer hypothesis”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
• Heath-Brown, D. R. (2000), ”Kummer's conjecture for cubic Gauss sums.” ( PDF), Israel J. Math. 120: part A, 97–124., https://ora.ox.ac.uk/objects/uuid:16c3966e-61cb-499d-839c-559b3794fcff/download_file?file_format=pdf&safe_filename=kummer.pdf&type_of_work=Journal+article 
• Heath-Brown, D.R.; Patterson, S.I. (1979), ”The distribution of Kummer sums at prime arguments”, J. Reine Angew. Math. 310: 111–130