Kumulativ fördelningsfunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Den kumulativa fördelningsfunktionen beskriver en sannolikhetsfördelning för en slumpvariabel inom den matematiska statistiken. För en slumpvariabel X definierad på sannolikhetsrummet  (\Omega, \mathcal{F}, P) definieras den kumulativa fördelningsfunktionen FX(x) som

F_X(x) = \Pr(X\leq x)

F_X(x) beskriver sannolikheten att X antar ett värde mindre än eller lika med x. Den kumulativa fördelningsfunktionen är monotont växande och högerkontinuerlig. Den har alltid egenskaperna

  • \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0
  • \lim_{x \to \infty} F(x) = 1
  • 0 \le F(x) \le 1

För en diskret slumpvariabel som kan anta värdena x1, x2... är F diskontinuerlig i punkterna xi och har konstant värde däremellan, det vill säga, den har ett trappstegsliknande utseende.

För en kontinuerlig slumpvariabel är F en kontinuerlig funktion. Om F dessutom är absolutkontinuerlig så gäller

F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt

där f(t) är täthetsfunktionen (eller frekvensfunktionen) för variabelns fördelning.

Sannolikheten för att en slumpvariabel ska anta värden större än a och mindre eller lika med b kan beräknas med:

\Pr(a < X \le b) = F(b) - F(a)

Tabell över värdena hos den kumulativa normalfördelningsfunktionen finns att läsa här. Andra fördelningar har andra tabeller.