Kvadratkomplettering

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kvadratkomplettering är att skriva om ett andragradspolynom (polynom av grad 2) till kvadratisk form:

x^2 + px + q = \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q\quad (1).

Kvadratkomplettering används bland annat för att lösa andragradsekvationer.

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Med hjälp av en av kvadreringsreglerna kan högerledet i ekvation (1) utvecklas, vilket visar att högerledet är lika med ekvationens vänsterled:

\left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q\ =
x^2 + 2 \cdot \frac{px}{2} + \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q = x^2 + px + q.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • För att hitta de två lösningarna till ekvationen
 x^2 + 32x - 33 = 0
kan kvadratkomplettering användas:
 x^2 + 32x - 33 = \left( x + \frac{32}{2} \right)^2 - \left( \frac{32}{2} \right)^2 - 33 = \left( x + 16 \right)^2 - 289
Sätt ovanstående lika med noll och lös
\left(x + 16 \right)^2 - 289 = 0\quad\Rightarrow
\left(x + 16 \right)^2 = 289\quad\Rightarrow
x + 16 = \pm 17\quad\Rightarrow
x = - 16 \pm 17\quad\Rightarrow
x = 1 ~~ \mathrm{eller} ~~ x = -33
  • Med kvadratkomplettering går det att lokalisera andragradspolynoms minsta värden:
x^2 + px + q = \underbrace{\left(x + \frac{p}{2} \right)^2}_{\geq 0} + \left(q - \left(\frac{p}{2}\right)^2\right)\geq q - \left(\frac{p}{2}\right)^2
Denna olikhet visar att det minsta värdet
q - \left(\frac{p}{2}\right)^2
antas då x är lika med
-\frac{p}{2}.
  • Kvadratkomplettering kan även användas för att till exempel skriva om
x^2 + 2xy = (x+y)^2 - y^2\quad\Rightarrow
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy

Se även[redigera | redigera wikitext]