Kvotkriteriet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kvotkriteriet, även kallat d'Alemberts kriterium, är en sats inom matematisk analys som ger ett villkor för att en serie ska konvergera.

Låt \{ a_k \}_{k=0} ^\infty vara en talföljd. Då säger kvotkriteriet att serien

 \sum_{k=0} ^\infty a_k

är absolutkonvergent, och därmed konvergent, om

\lim_{k\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|<1

och att serien är divergent om

\lim_{k\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|>1 .

Notera att satsen inte säger något om fallet

\lim_{k\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| =1.

Kvotkriteriets betydelse för studium av potensseriers \sum_{k=0} ^\infty a_kx^k konvergens blir tydligt då

\lim_{k\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{k+1}x^{k+1}}{a_kx^k} \right| =\lim_{k\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} x \right|,

potensseriens konvergens kan utläsas för alla x som inte gör gränsvärdet lika med ett. Man kan visa att kvotkriteriet är ett svagare resultat än rotkriteriet.

Se även[redigera | redigera wikitext]