Lévys C-kurva

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Lévys C-kurva även känd som Lévy-draken är en fraktal som har fått sin namn från den franske matematikern Paul Pierre Lévy. Namnet c-kurva kommer från att dess utseende kan jämföras med ett C. Jämfört med Von Kochs kurva eller Sierpinskis kurvor så har Lévys C-kurva mer avancerad struktur, men enklare struktur än exempelvis Juliamängden och Mandelbrotmängden. [1]

IFS konstruktion[redigera | redigera wikitext]

Lévy C-kurva skapad med hjälp av IFS

Lévys c-kurva kan beräknas med hjälp av användning av itererande funktionssystem.

F=\{f_0,f_1\}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2


Funktionerna f_0 och f_1 består av förminskning med faktorn 1/\sqrt{2} och en rotation med \pi/4 för f_0 och -\pi/2 för f_1 . C-kurvans Attraktor (K) är den mängd som satisifierar:

K=f_0(K)\cup f_1(K) .

För en kompakt mängd S:

F(S)=f_0(S)\cup f_1(S) .
K=F(K) \,\!

K är en fixerad punkt i F och

K = \lim_{k \to \infty} F^K(S)

Visar att om S är ett linjesegment (med hörn i f_0 och f_1) så kommer funktionen F uppreppad oändligt antal gånger existera ändligt. S_k = F^{k}(S) konvergerar då k \to \infty Om mängden  S_0 är ett linjesegment med hörn i f_0(K) och  f_1(K) så kommer denna linje transformeras om till en rätvinklig triangel som saknar baslinje. Vid nästa steg i iterationen kommer de två linjerna (som kan ses som sidor i en triangel) att bilda två nya trianglar som saknar hypotenusa. Se figur. [2]

L-system konstruktion[redigera | redigera wikitext]

Första åtta stegen i Lévy C-kurva
Lévy C-kurva (L-system efter 12 steg)

Vid konstruktion med hjälp av L-systemet bildas C-kurvan genom:

Variabel F
Vinkel 45°
Regel F\to+F--F+

Där F innebär ett rakt streck, + innebär rotera medurs 45° och - innebär rotera moturs 45°. [3]


Hausdorffdimension[redigera | redigera wikitext]

Hausdorffdimensionen hos Lévys C-kurva beräknades först av Duvall och Keesling 1998 till:
:D = 1.934007183...
senare räknade även Strichartz och Wang ut den till samma värde men med hjälp av ett annat tillvägasätt. [2]

Insidan av Lévy C-kurvan[redigera | redigera wikitext]

Lévy bevisade att C-kurvan har en insida som byggs upp av ett stort antal små element. Alla dessa element är endimensionella och en bestämd längd. Det finns även en begränsad mängd element som C-kurvan består av.[2][1]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Lévy C-kurva variant (skapad med hjälp av IFS)

Referenser[redigera | redigera wikitext]

http://mathworld.wolfram.com/LevyFractal.html

  1. ^ [a b] S. Bailey, T. Kim, R. S. Strichartz, Inside the Lévy dragon, American Mathematical Monthly 109(8) (2002) pp 689–703
  2. ^ [a b c] Alster, E. 2010, "The finite number of interior component shapes of the Levy dragon", Discrete and Computational Geometry, vol. 43, no. 4, pp. 855-875.
  3. ^ http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/levy/levy.htm