LU-faktorisering

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom linjär algebra är LU-faktorisering, ibland kallad LR-faktorisering, en matrisfaktorisering där en matris delas upp i en uppåt triangulär matris (om ursprungsmatrisen är kvadratisk) och en nedåt triangulär matris. LU-faktorisering används bland annat för att lösa linjära ekvationsystem med samma vänsterled.

Definition[redigera | redigera wikitext]

För en matris  A är LU-faktoriseringen

 A = LU

Om  A är kvadratisk är även  L (som blir en nedåt triangulär matris) och  U (som blir en uppåt triangulär matris) kvadratiska. Om  A inte är kvadratisk blir inte  U kvadratisk (och då inte heller triangulär), men  L blir kvadratisk och triangulär.

Ibland används en permutationsmatris  P för att undvika fel på grund av den numeriska metoden, vilket kallas (partiell) pivotering. Matrisen skrivs då om på formen  PA=LR

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

Med elementära matriser[redigera | redigera wikitext]

Genom multiplikation med elementära matriser för radoperationer kan den kvadratiska matrisen  A omvandlas till en övertriangulär matris  U (i likhet med Gausselimination):

 E_n...E_2E_1A = U \,

där  E_k är en elementär matris, vilket ger

 A = (E_n...E_2E_1)^{-1}U\quad \Rightarrow\quad A = E_1^{-1}E_2^{-1}...E_n^{-1}U

inverser till elementära matriser är lättberäknade (se artikeln om elementära matriser) och alla  E_k kan uttryckas som undertriangulära matriser (och då även deras inverser), blir produkten av alla  E_k en undertriangulär matris. Således kan  A representeras av produkten av en över- och en undertriangulär matris.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

LU-faktorisering av

A =
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
1 & 1 & 7 \\
-2 & 2 & -1 
\end{pmatrix}

Genom gausselimination framgår att en övertriangulär matris  U kan fås genom radadditioner:

U =
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 5 
\end{pmatrix}

Dessa radoperationer kan beskrivas som

  1. Subtrahera rad 1 från rad 2
  2. Addera rad 1 två gånger till rad 3

där radoperationerna kan representeras av elementära matriser enligt

E_1 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
,\quad E_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}

vilka har Inverserna

E_1^{-1}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
,\quad E_2^{-1} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Observera hur enkel inversberäkningen är. Det är bara att byta tecken på det nollskilda talet utanför diagonalen.  L kan nu beräknas:

L = E_1^{-1} E_2^{-1} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Observera att ordningen på matriserna kastas om vid inverteringen,

 (E_2 E_1)^{-1} = E_1^{-1} E_2^{-1} .

Därmed är A LU-faktoriserad:

A = LU =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Ekvationssystemlösning[redigera | redigera wikitext]

För en samling ekvationssystem  A\mathbf{x_k} = \mathbf{b_k} för vilka A är konstant men  \mathbf{b_k} varierar, lönar det sig att LU-faktorisera A, då ekvationssystemet kan lösas för en av de triangulära matriserna i taget. Först löses ekvationssystemet  L\mathbf{y} = \mathbf{b_k} och sedan ekvationssystemet  U\mathbf{x_k} = \mathbf{y} . Båda dessa ekvationssystem är lätta att lösa då vänsterleden representeras av triangulära matriser.

Inversberäkning[redigera | redigera wikitext]

 A = LU är  A^{-1} = U^{-1}L^{-1} . En triangulär matris är lättare att invertera än en icke-triangulär, varför det är lättare att beräkna inversen genom LU-faktorisering. Datorprogram beräknar ofta matrisinverser genom LU-faktorisering.

Determinantberäkning[redigera | redigera wikitext]

Determinantberäkning är enkelt för en LU-faktoriserad matris, då determinanten för en triangulär matris är produkten av diagonalelementen och

\det{A} = \det{L}\det{U}\,

Om  L dessutom endast har ettor i diagonalen (som den ofta har, se till exempel beräkningsexemplet ovan), får vi att

\det{A} = \det{U} = \prod_{i = 1}^n u_{ii}

Se även[redigera | redigera wikitext]