Lagrangemultiplikator

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Lagrangemultiplikator är ett begrepp i matematisk analys som kan användas om man vill hitta alla extrempunkter för funktionen f(x, y) när den begränsas av ett bivillkor g(x, y) = 0. Metoden är namngiven efter Joseph Louis Lagrange och baseras på följande teorem.

Antag att två funktioner f(x,y) samt g(x,y) har kontinuerliga förstaderivator i punkten P0 = (x0, y0) på kurvan C med ekvationen g(x, y) = 0. Antag också att när f(x, y) begränsas av punkter på C så har funktionen alltid ett lokalt maximum eller minimum i P0.

Antag även att: P0 är inte en slutpunkt på C och att \nabla g(x,y) \ne 0.

Då finns ett tal, λ0, sådant att (x0, y0) är en stationär punkt för Lagrangefunktionen

L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)

där λ är en Lagrangemultiplikator.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

De båda första antagandena tillsammans antyder att C är tillräckligt jämn för att ha en tangent igenom P0 och att \nabla g(P_0)är en normal till tangenten. Om \nabla f(P_0) inte är parallell med \nabla g(P_0) så har \nabla af(P_0) en projicerad vektor, v, som inte är en nollvektor längs tangenten till C i P0. Det innebär att f har en positiv riktningsderivata i P0 i vs riktning och en negativ riktningsderivata i motsatt riktning till v. Därmed ökar f om den rör sig bort från P0 i riktningen v och minskar i riktningen -v, vilket i sin tur innebär att f inte kan ha ett lokalt maximum eller minimum i P0. Det innebär att \nabla f(P_0) måste vara parallell med \nabla g(P_0) och eftersom \nabla g(P_0) \ne 0 så måste det finnas ett tal, λ0, sådant att

\nabla f(P_0) = -\lambda_0 \nabla g(P_0) ~~ \textrm{eller} ~~ \nabla (f(P_0) + \lambda_0 g(P_0)) = 0

Båda komponenterna i ovanstående vektor försäkrar oss om att \tfrac{\partial L}{\partial x} = 0 och att \tfrac{\partial L}{\partial y} = 0 i (x0, y0, λ0).

Den tredje ekvationen som måste satisfieras av en stationär punkt på L är \tfrac{\partial L}{\partial \lambda} = g(x,y) = 0. Den satisfieras i punkten (x0, y0, λ0) därför att P0 ligger på C. Då fås att (x0, y0, λ0) är en stationär punkt till
L(x, y, λ).

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Maximera f(x, y) = x3y5 under bivillkoret g(x, y) = x + y = 8.

Lösning[redigera | redigera wikitext]

Vi börjar med att ställa upp Lagrangefunktionen

L(x,y,\lambda) = x^3y^5 + \lambda(x + y - 8)

Vi tar sedan fram alla partiella derivator och sätter dem lika med noll i ett ekvationssystem


\begin{matrix}
A:& 3x^2 y^5 + \lambda &= 0 \\
B:& 5x^3 y^4 + \lambda &= 0 \\
C:& x+y-8 &= 0
\end{matrix}

A - B ger D nedan:


\begin{matrix}
C:& x + y - 8 &= 0 \\
D:& 3x^2y^5 - 5x^3y^4 &= 0 &\Longleftrightarrow& -5x +3y &=0
\end{matrix}

Detta ger x = 3 och y = 5.

Det sökta värdet ges av f(3, 5) = 84375.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Calculus, A Complete Course 4th Edition av Robert A. Adams