Laguerrepolynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
De fem första Laguerrepolynomen för \alpha = 0.

Laguerrepolynom är ett matematiskt begrepp, där n te Laguerrepolynomet L_{n}^{\alpha} som svarar mot parametern \alpha, definierat enligt

L_{n}^{\alpha}\left(x\right)=\frac{x^{-\alpha}e^{x}}{n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(x^{\alpha+n}e^{-x}\right),

där \alpha är ett reellt tal så att \alpha > -1.

För att följa den vanliga konventionen för definitionen av ortogonala polynom så kan man säga att Laguerrepolynomen svarar mot intervallet 0\leq x<\infty samt viktfunktionen w\left(x\right)=x^{\alpha}e^{-x}.

I viss litteratur förekommer benämningarna Laguerrepolynom samt generaliserade Laguerrepolynom för fallen \alpha=0 respektive \alpha\neq0.

Olikheten för parametern \alpha som förekommer i definitionen ovan, måste i allra högsta grad uppfyllas. För att förstå nödvändigheten i detta, förutsätt för en stund att olikheten inte uppfylls. Då kommer viktfunktionen w\left(x\right)=x^{\alpha}e^{-x} inte vara integrerbar i origo, så att integralerna som definierar både ortogonalitet och norm för Laguerrepolynomen kommer att divergera.

Laguerrepolynomen satisfierar Laguerreekvationen:


x\,y'' + (\alpha+1 - x)\,y' + n\,y = 0.\,


Ett användningsområde för Laguerrepolynomen finns inom kvantmekaniken, där de förekommer då man behandlar väteatomens tillstånd.

Laguerrepolynomen är uppkallade efter Edmond Laguerre (1834-1886).

De första Laguerrepolynomen[redigera | redigera wikitext]

n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 {\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,
3 {\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 {\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 {\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,
6 {\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,

Alternativa definitioner[redigera | redigera wikitext]

Man kan definiera Laguerrapolynomen genom att först definierar

L_0(x) = 1\,
L_1(x) = 1 - x\,

och sedan använda följande differensekvation för alla k ≥ 1:

L_{k + 1}(x) = \frac{1}{k + 1} \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)\right).

En sluten formel är

 L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+\alpha \choose n-i} \frac{x^i}{i!} .

Rodirgues formel för dem är

L_n^{(\alpha)}(x)=
{x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right)      =  x^{-\alpha}  ~\frac{( \frac{d}{dx} -1 ) ^n}{n!} ~ x^{n+\alpha}             .

Laguerrepolynomens exponentiella genererande funktion är

\sum_n^\infty  t^n L_n(x)=  \frac{1}{1-t} ~ e^{\frac{-tx}{1-t}} ~ .

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • De första Laguerrepolynomen med parametern α är

\begin{align}
L_0^{(\alpha)} (x) & = 1 \\
L_1^{(\alpha)}(x) & = -x + \alpha +1 \\
L_2^{(\alpha)}(x) & = \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2} \\
L_3^{(\alpha)}(x) & = \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} - \frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2}
+ \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}
\end{align}.
  • L_n^{(\alpha)}(0)= {n+\alpha\choose n} \approx \frac{n^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}.
  • Laguerrepolynomens asymptotiska tillväxt för stora n fixerat α och x > 0, ges av
L_n^{(\alpha)}(x) = \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \cos\left(2 \sqrt{nx}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) \right)+O\left(n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{3}{4}}\right)
L_n^{(\alpha)}(-x) = \frac{(n+1)^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} e^{2 \sqrt{x(n+1)}} \cdot\left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\right)
som kan sammanfattas som
\frac{L_n^{(\alpha)}\left(\frac x n\right)}{n^\alpha}\approx e^\frac x {2n}\cdot\frac{J_\alpha\left(2\sqrt x\right)}{\sqrt x^\alpha}

där J_\alpha är Besselfunktionen.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Additionsformeln för Laguerrepolynomen är

L_n^{(\alpha+\beta+1)}(x+y)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x) L_{n-i}^{(\beta)}(y) .

Laguerrepolynomen satisfierar ett flertal intressanta relationer:

L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n L_{n-i}^{(\alpha+i)}(y)\frac{(y-x)^i}{i!}
L_n^{(\alpha+1)}(x)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x)
L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n-i-1 \choose n-i} L_i^{(\beta)}(x)
L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n \choose n-i} L_i^{(\beta- i)}(x).

Dessutom är



\begin{align}
L_n^{(\alpha)}(x) & = L_n^{(\alpha+1)}(x) - L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x) = \sum_{j=0}^k {k \choose j} L_{n-j}^{(\alpha-k+j)}(x) \\[10pt]
n L_n^{(\alpha)}(x) & = (n + \alpha )L_{n-1}^{(\alpha)}(x) - x L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x), \\[10pt]
& \text{or } \frac{x^k}{k!}L_n^{(\alpha)}(x) = \sum_{i=0}^k (-1)^i {n+i \choose i} {n+\alpha \choose k-i} L_{n+i}^{(\alpha-k)}(x) \\[10pt]
n L_n^{(\alpha+1)}(x) & =(n-x) L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x) + (n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x) \\[10pt]
x L_n^{(\alpha+1)}(x) & = (n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x)-(n-x)L_n^{(\alpha)}(x)
\end{align}

och genom att kombinera dem kan man bevisa att

\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x)&= \left(2+\frac{\alpha-1-x}n \right) L_{n-1}^{(\alpha)}(x)- \left(1+\frac{\alpha-1}n \right) L_{n-2}^{(\alpha)}(x)\\[10pt]

&= \frac{\alpha+1-x}n  L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)- \frac x n L_{n-2}^{(\alpha+2)}(x). \end{align}

En intressant identitet för heltal i och n är

 \frac{(-x)^i}{i!} L_n^{(i-n)}(x) = \frac{(-x)^n}{n!} L_i^{(n-i)}(x)

som kan användas till att härleda partialbråksuppdelningen

\frac{L_n^{(\alpha)}(x)}{{n+ \alpha \choose n}}= 1- \sum_{j=1}^n \frac{x^j}{\alpha + j} \frac{L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}=

1- \sum_{j=1}^n (-1)^j \frac{j}{\alpha + j} {n \choose j}L_n^{(-j)}(x)

 = 1-x \sum_{i=1}^n \frac{L_{n-i}^{(-\alpha)}(x)  L_{i-1}^{(\alpha+1)}(-x)}{\alpha +i}.

Multiplikationsteorem[redigera | redigera wikitext]

Två multiplikationsteorem av Erdélyi är

t^{n+1+\alpha} e^{(1-t) z} L_n^{(\alpha)}(z t)=\sum_{k=n} {k \choose n}\left(1-\frac 1 t\right)^{k-n} L_k^{(\alpha)}(z)

och

e^{(1-t)z} L_n^{(\alpha)}(z t)=\sum_{k=0} \frac{(1-t)^k z^k}{k!}L_n^{(\alpha+k)}(z).

Derivator[redigera | redigera wikitext]

Laguerrepolynomens derivator kan räknas med hjälp av



\frac{d^k}{d x^k} L_n^{(\alpha)} (x)
= (-1)^k L_{n-k}^{(\alpha+k)} (x)\,.

Dessutom gäller följande ekvation

\frac{1}{k!} \frac{d^k}{d x^k} x^\alpha L_n^{(\alpha)} (x)

= {n+\alpha \choose k} x^{\alpha-k} L_n^{(\alpha-k)}(x)

som kan generaliseras till

L_n^{(\alpha')}(x) = (\alpha'-\alpha) {\alpha'+ n \choose \alpha'-\alpha} \int_0^x \frac{t^\alpha (x-t)^{\alpha'-\alpha-1}}{x^{\alpha'}} L_n^{(\alpha)}(t)\,dt.

Derivatan i förhållande till andra variabeln α är

\frac{d}{d \alpha}L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{n-i}.

Laguerrepolynomen satisfierar differentialekvationen


x L_n^{(\alpha) \prime\prime}(x) + (\alpha+1-x)L_n^{(\alpha)\prime}(x) + n L_n^{(\alpha)}(x)=0.\,

Ortogonalitet[redigera | redigera wikitext]

Laguerrepolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen

\int_0^\infty x^\alpha e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!} \delta_{n,m}

som följer ur

\int_0^\infty x^{\alpha'-1} e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)dx= {\alpha-\alpha'+n \choose n} \Gamma(\alpha').


Relation till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]

Laguerrepolynomen är relaterade till generaliserade hypergeometriska funktionen enligt

L^{(\alpha)}_n(x) = {n+\alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x) =\frac{(\alpha+1)_n} {n!}  \,_1F_1(-n,\alpha+1,x)

där (a)_n är Pochhammersymbolen.

Hermitepolynomen är ett specialfall av Laguerrepolynomen:

H_{2n}(x) = (-1)^n\ 2^{2n}\ n!\ L_n^{(-1/2)} (x^2)

och

H_{2n+1}(x) = (-1)^n\ 2^{2n+1}\ n!\ x\ L_n^{(1/2)} (x^2).

Oändliga serier som innehåller Laguerrepolynom[redigera | redigera wikitext]

Anta att funktionen f har serieexpansionen

f(x)= \sum_{i=0}^\infty f_i^{(\alpha)} L_i^{(\alpha)}(x).

Då är

f_i^{(\alpha)}=\int_0^\infty \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{i+ \alpha \choose i}} \cdot \frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha+1)} \cdot f(x) \,dx .

Monom kan skrivas som

\frac{x^n}{n!}= \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+ \alpha \choose n-i} L_i^{(\alpha)}(x).

Binomialkoefficienterna har expansionen

{n+x \choose n}= \sum_{i=0}^n \frac{\alpha^i}{i!} L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha)

som leder till formeln

e^{-\gamma x}= \sum_{i=0}^\infty \frac{\gamma^i}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}} L_i^{(\alpha)}(x) \qquad \left(\text{konvergerar om }\operatorname{Re}{(\gamma)} > -\frac{1}{2}\right).

Ofullständiga gammafunktionen har representationen

\Gamma(\alpha,x)=x^\alpha e^{-x} \sum_{i=0}^\infty \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{1+i} \qquad \left(\Re(\alpha)>-1 , x > 0\right).

En annan oändlig serie är



\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!L_{n}^{(\alpha)}(x)L_{n}^{(\alpha)}(y)r^{n}}{\Gamma\left(1+\alpha+n\right)}=\frac{\exp\left(-\frac{\left(x+y\right)r}{1-r}\right)I_{\alpha}\left(\frac{2\sqrt{xyr}}{1-r}\right)}{\left(xyr\right)^{\frac{\alpha}{2}}\left(1-r\right)},\quad,\alpha>-1,\left|r\right|<1.

Övrigt[redigera | redigera wikitext]

Följande olikhet för Laguerrepolynomen gäller:

L_n^{(\alpha)}(x)^2- L_{n-1}^{(\alpha)}(x) L_{n+1}^{(\alpha)}(x)= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{{\alpha+n-1\choose n-k}}{n{n\choose k}} L_k^{(\alpha-1)}(x)^2>0.

Följande integral är viktig i vissa fysikaliska applikationer av Laguerrepolynom:

\int_0^{\infty}x^{\alpha+1} e^{-x} \left[L_n^{(\alpha)} (x)\right]^2 dx=

\frac{(n+\alpha)!}{n!}(2n+\alpha+1).

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Gerald B. Folland, Fourier analysis and its applications, Brooks/Cole publishing company, 1992.
  • B. H. Bransden and C. J. Joachain, Quantum mechanics, second edition, Prentice hall, Pearson Education, 2000.
  • Donald A. McQuarrie, Mathematical methods for scientists and engineers, University science books, 2003.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.