Lamberts W-funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Graf av W0(x) för -1/ex ≤ 4

Lamberts W-funktion är en matematisk funktion som används för att lösa ekvationer innehållande logaritmer eller exponentialfunktioner som inte kan elimineras algebraiskt. Den betecknas W och definieras som inversen till funktionen

f(w) = we^w

där w är ett komplext tal och ew betecknar exponentialfunktionen.

Flervärdhet[redigera | redigera wikitext]

Funktionen

f(w) = w e^w\,

är inte injektiv på (−∞, 0) och W är därför en flervärd funktion på [−1/e, 0). För reella argument x ≥ −1/e kan man med kravet w ≥ −1 definiera en entydig funktion W0. Denna funktion uppfyller W0(0) = 0 och W0(−1/e) = −1.

Metod för ekvationslösning[redigera | redigera wikitext]

Lamberts W-funktion uppfyller

z = W(z)e^{W(z)}\,

och kan därför tillämpas genom att skriva om ekvationer på formen c = x e^x där c är konstant, varefter lösningen ges av x = W(c). Exempelvis kan ekvationen 2t = 5t lösas genom omskrivningen

2^t = 5t \Rightarrow
1 = 5t e^{-t \log 2} \Rightarrow
\frac{-\log 2}{5} = (-t \log 2) \, e^{(-t \log 2)} \Rightarrow
-t \log 2 = W\left(\frac{-\log 2}{5}\right) \Rightarrow
t = \frac{-W\left(\frac{-\log 2}{5}\right)}{\log 2}.

Specifika ekvationer och värden[redigera | redigera wikitext]

De ekvivalenta ekvationerna x = \log x och x = e^x har lösningen

x = -W(-1) \approx -0\mathrm{,}31813 + 1\mathrm{,}33724i.

Ekvationen x^x=z löses av

x=\frac{\log z}{W(\log z)} = \exp\left(W(\log z)\right),

och det oändliga tornet av potenser

c = z^{z^{z^{\cdots}}} \!

antar vid konvergens värdet

c=\frac{W(-\log z)}{-\log z}.

Några specifika värden är

W\left(-\pi/2\right) = i\pi/2
W\left(-\frac{\ln a}{a}\right)= -\ln a  \quad            \left(\frac{1}{e}\le a\le e\right)
W\left(-1/e\right) = -1
W\left(-\log 2/2\right)= -\log 2
W(0) = 0\,
W(e) = 1\,
W(1) = \Omega\, (omegakonstanten)
W\left(-1\right) \approx -0.31813-1.33723{\rm{i}} \,
W'\left(0\right) = 1\,.

Taylorserie[redigera | redigera wikitext]

Maclaurinserien till Lamberts W-funktion kan beräknas utifrån den implicita ekvationen

z = W(z) e^{W(z)}\,

genom Lagranges inverteringssats. Resultatet är

W_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots

som enligt kvottestet har konvergensradien 1/e.

Mer allmänt, för r\in\Z, är


W_0(x)^r = \sum_{n=r}^\infty \frac{-r(-n)^{n-r-1}}{(n-r)!}\ x^n.

Derivata och primitiv funktion[redigera | redigera wikitext]

Derivatan ges av

\frac{d}{dx} W(x) = \frac{W(x)}{x(1 + W(x))}.

Många uttryck innehållande Lamberts W-funktion kan integreras genom variabelsubstitutionen w = W(x), det vill säga x = w ew. Speciellt gäller

\int W(x)\, dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C.

Differentialekvation[redigera | redigera wikitext]

Lamberts W-funktion uppfyller differentialekvationen

z(1+W)\frac{dW}{dz}=W \quad z\neq -1/e.

Övriga formler[redigera | redigera wikitext]

\int_{0}^{\pi} W\bigl( 2\cot^2(x) \bigr)\sec^2(x)\;\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}
\int_{0}^{\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\;\mathrm dx = \sqrt{2\pi}

\int_{0}^{\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}

Tillväxt[redigera | redigera wikitext]

En approximation av W_0(x) för stora x är

W_0(x)=\ln x-\ln \ln x+\frac{\ln\ln x}{\ln x}+O\left(\left(\frac{\ln\ln x}{\ln x}\right)^2\right).