Lamberts W-funktion

Graf av W₀(x) för -1/e ≤ x ≤ 4

Lamberts W-funktion är en matematisk funktion som används för att lösa ekvationer innehållande logaritmer eller exponentialfunktioner som inte kan elimineras algebraiskt. Den betecknas W och definieras som inversen till funktionen

$f(w) = we^w$

där w är ett komplext tal och e^w betecknar exponentialfunktionen.

Flervärdhet

Funktionen

$f(w) = w e^w\,$

är inte injektiv på (−∞, 0) och W är därför en flervärd funktion på [−1/e, 0). För reella argument x ≥ −1/e kan man med kravet w ≥ −1 definiera en entydig funktion W₀. Denna funktion uppfyller W₀(0) = 0 och W₀(−1/e) = −1.

Metod för ekvationslösning

Lamberts W-funktion uppfyller

$z = W(z)e^{W(z)}\,$

och kan därför tillämpas genom att skriva om ekvationer på formen $c = x e^x$ där c är konstant, varefter lösningen ges av $x = W(c)$. Exempelvis kan ekvationen 2^t = 5t lösas genom omskrivningen

$2^t = 5t \Rightarrow$

$1 = 5t e^{-t \log 2} \Rightarrow$

$\frac{-\log 2}{5} = (-t \log 2) \, e^{(-t \log 2)} \Rightarrow$

$-t \log 2 = W\left(\frac{-\log 2}{5}\right) \Rightarrow$

$t = \frac{-W\left(\frac{-\log 2}{5}\right)}{\log 2}.$

Specifika ekvationer och värden

De ekvivalenta ekvationerna $x = \log x$ och $x = e^x$ har lösningen

$x = -W(-1) \approx -0\mathrm{,}31813 + 1\mathrm{,}33724i.$

Ekvationen $x^x=z$ löses av

$x=\frac{\log z}{W(\log z)} = \exp\left(W(\log z)\right),$

och det oändliga tornet av potenser

$c = z^{z^{z^{\cdots}}} \!$

antar vid konvergens värdet

$c=\frac{W(-\log z)}{-\log z}.$

Några specifika värden är

$W\left(-\pi/2\right) = i\pi/2$

$W\left(-1/e\right) = -1$

$W\left(-\log 2/2\right)= -\log 2$

$W(0) = 0\,$

$W(e) = 1\,$

$W(1) = \Omega\,$ (omegakonstanten).

Taylorserie

Maclaurinserien till Lamberts W-funktion kan beräknas utifrån den implicita ekvationen

$z = W(z) e^{W(z)}\,$

genom Lagranges inverteringssats. Resultatet är

$W_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots$

som enligt kvottestet har konvergensradien 1/e.

Derivata och primitiv funktion

Derivatan ges av

$\frac{d}{dx} W(x) = \frac{W(x)}{x(1 + W(x))}$.

Många uttryck innehållande Lamberts W-funktion kan integreras genom variabelsubstitutionen w = W(x), det vill säga x = w e^w. Speciellt gäller

$\int W(x)\, dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C.$

Differentialekvation

Lamberts W-funktion uppfyller differentialekvationen

$z(1+W)\frac{dW}{dz}=W \quad z\neq -1/e.$