Landsberg–Schaars relation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom talteori och harmonisk analys är Landsberg–Schaars relation följande relation för positiva heltal p och q:


\frac{1}{\sqrt{p}}\sum_{n=0}^{p-1}\exp\left(\frac{2\pi in^2q}{p}\right)=
\frac{e^{\pi i/4}}{\sqrt{2q}}\sum_{n=0}^{2q-1}\exp\left(-\frac{\pi in^2p}{2q}\right).

Även om båda membrum är ändliga summor har man inte lyckats hitta något bevis med ändliga metoder. I allmänhet bevisas den[1] genom att låta \tau=2iq/p+\varepsilon med \varepsilon>0 i följande identitet av Jacobi (som är ett specialfall av Poissons summeringsformel i klassisk harmonisk analys)


\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-\pi n^2\tau}=\frac{1}{\sqrt{\tau}}
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-\pi n^2/\tau}

och sedan låta \varepsilon\to 0.

Om vi låter q = 1 blir identiteten en formel för kvadratiska Gaussumman modulo p.

Landsberg–Schaars relation kan skrivas i den mer symmetriska formen


\frac{1}{\sqrt{p}}\sum_{n=0}^{p-1}\exp\left(\frac{\pi in^2q}{p}\right)=
\frac{e^{\pi i/4}}{\sqrt{q}}\sum_{n=0}^{q-1}\exp\left(-\frac{\pi in^2p}{q}\right)

om vi antar att pq är ett jämnt tal.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Landsberg–Schaar relation, 30 januari 2014.
  1. ^ H. Dym and H.P. McKean. Fourier Series and Integrals. Academic Press, 1972.