Laplaces ekvation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Laplaces ekvation, en partiell differentialekvation med namn efter Pierre Simon de Laplace. Dess allmänna form är

\nabla^2 u=0,

där \nabla^2 är Laplaceoperatorn. I ett tredimensionellt rum med kartesiska koordinater skrivs ekvationen

\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0.

En funktion som uppfyller Laplaces ekvation kallas harmonisk.

Laplaces ekvation uppträder ofta i vitt skilda fysikaliska sammanhang när en process uppnått jämvikt, så kallat steady-state. Ett exempel är när en uppvärmd kropp/massa når jämvikt, då den inre värmefördelningen inte längre förändras. En sådan kropps värmeledningsekvation är lösning till Laplaces ekvation.

Poissons ekvation är en generalisering av Laplaces ekvation.