Laplacetransform

Laplacetransform är en matematisk transform, namngiven efter Pierre Simon de Laplace, som avbildar en funktion $f(t)$, definierad på reella axeln t ≥ 0, på funktionen (Laplace-transformen)

$F(s) = \left\{\mathcal{L} f\right\}(s) =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

som är definierad för de tal $s$ (reella eller komplexa) för vilka integralen existerar, vilket vanligen innebär för alla tal $s$ med realdel $Re(s)>a$, där $a$ är en konstant som beror på ökningen av $f(t)$.

Tillämpningar

Transformationen har en mängd egenskaper som gör den användbar såväl för analys av linjära dynamiska system som vid lösande av differentialekvationer.

I konkreta fysiska system tolkas ofta Laplace-transformen som en transformering från tidsdomänen, där indata och utdata ses som funktioner av tiden, till frekvensdomänen, där samma in- och utdata ses som funktioner av komplexa vinkelfrekvenser, eller radianer per tidsenhet. Förutom att ge ett fundamentalt annorlunda sätt att beskriva beteendet hos ett system så gör denna transformering att de matematiska beräkningar som krävs för att analysera systemet blir mycket enklare och mindre komplexa. Det är en kraftfull teknik för analys av system som exempelvis elektriska kretsar, harmoniska oscillatorer, optiska instrument, och mekaniska system. Laplacetransformen kan ge en alternativ beskrivning av ett system, vilket ofta drastiskt förenklar analysen av systemets beteende, såväl som skapandet av nya system utifrån givna specifikationer.

Lösning av differentialekvationer

Genom att laplacetransformera en differentialekvation kan den omvandlas till en algebraisk ekvation, som kan vara lättare att lösa. Efter att ha löst den kan uttrycket sedan transformeras tillbaka. Detta är speciellt värdefullt när problemet är diskontinuerligt, och varje intervall måste behandlas för sig. I Laplacetransformens algebraiska ekvation blir istället varje intervall en term i ekvationen.

En fördel med att använda Laplacetransformen istället för den besläktade Fouriertransformen är att med den förra kommer begynnelsevärdet att direkt inkluderas i den algebraiska ekvationen.

Notation

Många fysiker och ingenjörer använder den aningen felaktiga skrivformen:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

Egenskaper och teorem

Givet funktionerna f(t) och g(t), och dessas respektive Laplacetransformer F(s) och G(s),

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \}$

$g(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \}$

listar följande tabell egenskaperna för den enkelsidiga Laplacetransformen:

Egenskaper för enkelsidig Laplace transform

	Tidsdomän	Frekvensdomän	Kommentar
Linjäritet	$a f(t) + b g(t) \$	$a F(s) + b G(s) \$
Frekvensderivering	$t f(t) \$	$-F'(s) \$
Generell frekvensderivering	$t^{n} f(t) \$	$(-1)^{n} F^{(n)}(s) \$	Generell
Derivering	$f' \$	$s F(s) - f(0^-) \$
Andraderivatan	$f'' \$	$s^2 F(s) - s f(0^-) - f'(0^-) \$
Generell derivata	$f^{(n)} \$	$s^n F(s) - s^{n - 1} f(0^-) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^-) \$
Frekvensintegrering	$\frac{f(t)}{t} \$	$\int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \$
Faltning	$f(t) * g(t) \$	$F(s) \cdot G(s) \$
Integrering	$\int_0^t f(\tau)\, d\tau = u(t) * f(t)$	${1 \over s} F(s)$	$u(t)$ är Heavisides stegfunktion
Skalning	$f(at) \$	${1 \over |a|} F \left ( {s \over a} \right )$
Frekvensförskjutning	$e^{at} f(t) \$	$F(s - a) \$
Tidsförskjutning	$f(t - a) u(t - a) \$	$e^{-as} F(s) \$	$u(t)$ är Heavisides stegfunktion
Periodisk funktion	$f(t) \$	${1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt$	$f(t)$ är en periodisk funktion med period $T$ so att $f(t) = f(t + T), \; \forall t$

• Begynnelsvärdesteoremet:

$f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}$

• Slutvärdesteoremet:

$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}$, alla poler i vänster halvplan, VHP.

Slutvärdesteoremet är användbart eftersom det ger långtidsegenskaper, alltså utan inverkan av ev. inledande transienter, för ett system utan att behöva partialbråksuppdela eller genomföra annan svår algebra. Om en funktions poler är i höger halvplan, HHP (ex. $e^t$ eller $\sin(t)$) så gäller inte teoremet.

Se även

• Fourier-transform
• Z-transform
• Transform