Linjär ekvation

Tre olika linjer och deras ekvationer.

Linjär ekvation, eller räta linjens ekvation, är en ekvation som beskriver en punktmängd, ofta en linje, i exempelvis ett plan eller ett rum.

Linjära ekvationer i två variabler

En vanlig form att skriva en linjär ekvation på är k-formen:

$y = k x + m \,$

där k kallas riktningskoefficient och m kallas konstantterm. Sett som en linje i ett koordinatsystem utgör k linjens lutning och $m$ hur många enheter som linjen är förskjuten från origo.

Om $k > 0$ har linjen en positiv lutning medan den har en negativ lutning om $k < 0$.

Om $k = 0$ är funktionen konstant och linjen är parallell med x-axeln.

Två linjer med samma riktningskoefficient är parallella. Två linjer vars riktningskoefficienter multiplicerade med varandra blir -1 är vinkelräta mot varandra.

För att kontrollera om en punkt finns på linjen kan man helt enkelt sätta in punktens koordinater som $x$ och $y$ i ekvationen och se om vi får likhet.

Andra former

En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

$Ax + By + C = 0\,$

eller på standardform:

$A x +By = C.\,$

Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt $(x_0, y_0)$ på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

$y-y_0 = k(x-x_0)\,$

Linjära ekvationer i flera variabler

En linjär ekvation kan innehålla flera fria variabler och den allmänna linjära ekvationen för n variabler ser ut som:

$a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_n x_n = b\,$

och kan även skrivas på vektorform:

$\mathbf{a}^T \mathbf{x} = b.$

En sådan ekvation representerar ett $(n-1)$-dimensionellt hyperplan i ett n-dimensionellt rum.