Lipschitzkontinuitet

Från Wikipedia

Bild av en Lipschitz-kontinuerlig funktion som innesluts av två koner. Ifall en funktion kan inneslutas i två koner med en gemensam spets i vilken punkt som helst på funktionen, så är funktionen Lipschitz-kontinuerlig.

Exempel på en funktion som inte är Lipschitz-kontinuerlig.

Lipschitzkontinuitet är ett villkor inom matematisk analys utvecklat av och namngett efter den tyske matematikern Rudolf Otto Sigismund Lipschitz. Grafiskt kan villkoret ses som ett ”mjukhetsvillkor” för funktioner, där funktionens lutning måste vara begränsad i alla punkter för att uppfylla villkoret.

Begreppet Lipschitz-kontinuitet ligger mellan begreppen kontinuitet och deriverbarhet. En deriverbar funktion är alltid Lipschitz-kontinuerlig, och en Lipschitz-kontinuerlig funktion är alltid kontinuerlig. Dock gäller inte omvändningen. En kontinuerlig funktion behöver inte vara Lipschitz-kontinuerlig, samtidigt som en Lipschitz-kontinuerlig funktion inte behöver vara deriverbar.

Innehåll

1 Definitioner
2 Egenskaper
3 Samband mellan kontinuitet, Lipschitz-kontinuitet samt deriverbarhet
4 Källor
5 Se även

[redigera] Definitioner

[redigera] Lipschitz-kontinuitet i en variabel

Funktionen $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ är Lipschitz-kontinuerlig på intervallet $I$ omm det finns en lipschitz-konstant $k > 0$ sådan att för alla $x$ och $h$ , där $x\in I$ och $x+h \in I$ , gäller att $|f(x+h)-f(x)|\le k|h|$ .

[redigera] Lipschitz-kontinuitet i flera variabler

Funktionen $f:\mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ är Lipschitz-kontinuerlig på intervallet $I$ omm det finns en lipschitz-konstant $k > 0$ för alla $\vec x$ och $\vec h$ där $\vec x \in I$ och $\vec x + \vec h \in I$ , gäller att $|f(\vec x + \vec h)-f(\vec x)| \le k |\vec h|$

[redigera] Lokal Lipschitz-kontinuitet

En funktion $f(\vec x)$ sägs vara lokalt Lipschitz-kontinuerlig i en punkt $\vec a$ omm det finns någon omgivning kring punkten $\vec x=\vec a$ där funktionen $f(\vec x)$ är Lipschitz-kontinuerlig.

[redigera] Egenskaper

Att en funktion är Lipschitz-kontinuerlig betyder att dess lutning måste vara begränsad. För en variabel kan man grafiskt tänka sig att en Lipschitz-kontinuerlig funktion f kan inneslutas i två koner med axlarna längs x-axeln, vars toppar ligger i en gemensam punkt $x$ på funktionen $f$ (se bilden). Ifall det för varje punkt på $f$ finns ett $k$ , där $k$ är lutningen på konernas sidor, så att $f$ är helt innesluten av konen, så har vi en lokalt Lipschitz-kontinuerlig funktion. Om det dessutom finns ett och samma k för alla punkter på funktionen som gör att $f$ alltid ligger inom konen, så kan vi säga att $f$ är globalt Lipschitz-kontinuerlig.

Då en funktion har en Lipschitz-konstant 0 < k < 1 sägs funktionen vara en sammandragning.

Villkoret för Lipschitz-kontinuitet används i Picards sats, som nyttjas för att avgöra existensen för lösningar till differentialekvationer med begynnelsevärden.

[redigera] Samband mellan kontinuitet, Lipschitz-kontinuitet samt deriverbarhet

[redigera] Lipschitz-kontinuitet och deriverbarhet

En funktion $f$ som är deriverbar är också lokalt Lipschitz-kontinuerlig. Då derivatan av $f$ är begränsad, så är $f$ även globalt Lipschitz-kontinuerlig.

Enligt definitionen av riktningsderivata kan riktningsderivatan av funktionen $f(\vec x)$ skrivas som

$f'_{\vec v}(\vec x) \to {f(\vec x+h \vec v)-f(\vec x) \over h}, \ h \to 0, \ |\vec v|=1$

Omskrivning ger

$f(\vec x+h \vec v)-f(\vec x) \to f'_{\vec v}(\vec x) h, \ h \to 0 \quad \Rightarrow \quad |f(\vec x+h \vec v)-f(\vec x)| \to |f'_{\vec v}(\vec x)| |h|, \ h \to 0$

Detta medför att $f$ är lokalt Lipschitz-kontinuerlig för alla punkter på definitionsmängden, eftersom det finns en omgivning kring varje punkt $x$ där

$|f(\vec x+h \vec v)-f(\vec x)| \to k |h|, \ h \to 0, \ k=|f'_{\vec v}(\vec x)|$

Detta innebär dock inte att $f$ är globalt Lipschitz-kontinuerlig, eftersom $f'_{\vec v}(\vec x)$ inte behöver vara obegränsad överallt även om den existerar. Ett exempel är funktionen $g(x)=\sqrt{x}, \ x>0$ , vars derivata existerar på hela definitionsmängden och därför är lokalt Lipschitz-kontinuerlig överallt, men som däremot inte är globalt Lipschitz-kontinuerlig eftersom $f'(x) \to \infty \$ då $\ x \to 0$ .

Men då $f'_{\vec v}(\vec x)$ är begränsad på hela definitionsmängden kan man se att

$|f(\vec x+h \vec v)-f(\vec x)| \to |f'_{\vec v}(\vec x)| |h|,\ h \to 0 \quad \Rightarrow \quad |f(\vec x+g \vec v)-f(\vec x)| \le |f'_{\vec v}|_{max} |g| \quad \Longleftrightarrow \quad |f(x+g)-f(x)| \le k |g|, \ k =|f'_{\vec v}|_{max}$

vilket är ekvivalent med att $f(\vec x)$ är globalt Lipschitz-kontinuerlig.

Att en funktion är Lipschitz-kontinuerlig medför inte att den samtidigt är deriverbar.

Detta visas enklast genom ett exempel på en funktion som är Lipschitz-kontinuerlig men inte deriverbar. Ett sådant exempel är $f (x) = | x |$ . I punkten $x = 0$ saknas derivata, men funktionen är fortfarande Lipschitz-kontinuerlig, eftersom funktionen är kontinuerlig och dess lutning är begränsad.

[redigera] Lokal och global Lipschitz-kontinuitet

En funktion som är globalt Lipschitz-kontinuerlig är även lokalt Lipschitz-kontinuerlig i alla punkter. Däremot gäller inte det omvända.

Detta samband kan utläsas direkt ur definitionerna. För en globalt Lipschitz-kontinuerlig funktion gäller att för alla punkter $\vec x$ på funktionen så är lutningen till alla punkter $\vec x+h \vec v$ på funktionen begränsad. Därav följer även att det finns någon omgivning kring alla punkter $\vec x$ där lutningen mellan punkten $x$ och alla punkter i den omgivningen är begränsad.

Funktionen $f (x) = x 2$ är ett exempel på en funktion som är lokalt Lipschitz-kontinuerlig, men inte globalt. Kring varje enskild punkt $x$ kan vi hitta en omgivning där lutningen är begränsad, vilket medför att $f$ är lokalt Lipschitz-kontinuerlig för alla $x$ . Däremot kommer lutningen att växa oändligt för stora positiva och negativa $x$ . Därför finns ingen Lipschitz-konstant k så att $|f(x+h)-f(x)|\leq k|h|$ för alla $x$ , och funktionen är därför inte globalt Lipschitz-kontinuerlig.

[redigera] Kontinuitet och Lipschitz-kontinuitet

Lipschitz-kontinuerliga funktioner är även kontinuerliga.

För en Lipschitz-kontinuerlig funktion $f$ gäller enligt definitionen att

$|f(\vec x + \vec h)-f(\vec x)| \le k |\vec h|$

detta uttryck ska gälla för alla $h$ och $x$ där $x$ och $x + h$ ligger i definitionsmängden, vilket ger att det även gäller då $h$ går mot 0.

Då $h$ går mot 0 får vi direkt

$|f(\vec x + \vec h)-f(\vec x)| \to 0 \quad \Longrightarrow \quad f(\vec x + \vec h)-f(\vec x) \to \vec 0$

vilket är definitionen för kontinuitet.

Att en funktion är kontinuerlig medför inte att den även är Lipschitz-kontinuerlig

Detta visas enklast genom att hitta en kontinuerlig funktion som inte är Lipschitz-kontinuerlig. Ett exempel på detta är $f(x)=\sqrt{|x|}$ . Derivatan till denna funktion existerar i alla punkter utom $x = 0$ . Däremot är $\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=f(0)=0$ , vilket medför att $f$ är kontinuerlig.

Då vi låter $x \to 0^{+}$ så kommer vi få att $f'(x)={1 \over 2\sqrt{x}} \to \infty$ . Det saknas alltså en omgivning kring punkten $x = 0$ där vi har en begränsad lutning på funktionen $f$ , vilket innebär att funktionen inte är lokalt Lipschitz-kontinuerlig, och därmed inte heller globalt Lipschitz-kontinuerlig.

[redigera] Källor

PlanetMath.org - Lipschitz condition and differentiability
University of Sussex - Spring 2006 Handout 3: Lipschitz condition and Lipschitz continuity
Åbo Akademi - 8. Residykalkyl
Michael Björklund, KTH - Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer
Analys i flera variabler, Arne Persson, Lars-Christer Böiers
Matematisk Analys en variabel, Göran Forsling, Mats Neymark

[redigera] Se även