Lista över trigonometriska identiteter

Alla trigonometriska funktioner för en vinkel θ kan konstrueras geometriskt i termer av en enhetscirkel med centrum i punkten O

Grundläggande

Funktioner

$\cos(x) = \sin\left(x + \frac {\pi} {2}\right)$

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

$\cot(x)= \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{1}{\tan(x)}$

$\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$

$\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$

Perioder

Sinus, cosinus, sekant och cosekant har perioden 2π. Tangens och cotangens har perioden π. Om k är ett heltal gäller:

$\begin{align} \sin(x) &= \sin(x + 2k\pi) \\ \cos(x) &= \cos(x + 2k\pi) \\ \tan(x) &= \tan(x + k\pi) \\ \cot(x) &= \cot(x + k\pi) \\ \sec(x) &= \sec(x + 2k\pi) \\ \csc(x) &= \csc(x + 2k\pi) \\ \end{align}$

Symmetri

$\begin{align} \sin(-x) &= -\sin(x) & \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) &= \cos(x) & \sin\left(\pi - x\right) &= +\sin(x) \\ \cos(-x) &= +\cos(x) & \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) &= \sin(x) & \cos\left(\pi - x\right) &= -\cos(x) \\ \tan(-x) &= -\tan(x) & \tan\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) &= \cot(x) & \tan\left(\pi - x\right) &= -\tan(x) \\ \end{align}$

En funktion f(x) kallas udda om f(-x) = -f(x) och kallas jämn om f(-x) = f(x). Till exempel är cosinusfunktionen jämn och sinus- och tangensfunktionerna är udda.

Förskjutningar

$\begin{align} \sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) &= +\cos(x) & \sin\left(x + \pi\right) &= -\sin(x) \\ \cos\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) &= -\sin(x) & \cos\left(x + \pi\right) &= -\cos(x) \\ \tan\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) &= -\cot(x) & \tan\left(x + \pi\right) &= +\tan(x) \\ \end{align}$

Samband för en vinkel

Trigonometriska ettan

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

$\sin(x) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(x)}$

$\cos(x) = \pm \sqrt{1 - \sin^2(x)}$

Relaterade identiteter

$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$

$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

Dubbla vinkeln

$\begin{align} \sin(2x) &= 2 \sin (x) \cos(x) \\ \cos(2x) &= \cos^2(x) - \sin^2(x) = \\ &= 2 \cos^2(x) - 1 = \\ &= 1 - 2 \sin^2(x) \\ \tan(2x) &= \frac{2 \tan(x)} {1 - \tan^2(x)} \\ \cot(2x) &= \frac{\cot(x) - \tan(x)} {2} \\ \end{align}$

Tredubbla vinkeln

$\begin{align} \sin(3x) &= 3 \sin(x)- 4 \sin^3(x) \\ \cos(3x) &= 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x) \\ \tan(3x) &= \frac{3 \tan(x) - \tan^3(x)}{1 - 3 \tan^2(x)} \\ \cot(3x) &= \frac{\cot^3(x) - 3 \cot(x)}{3 \cot^2(x) - 1} \\ \end{align}$

Halva vinkeln

$\begin{align} \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{1 - \cos(x)}{2} \\ \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{1 + \cos(x)}{2} \\ \tan\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} &= \\ &= \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)} \\ \tan^2\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)} \\ \cot\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sin(x)}{1 - \cos(x)} &= \\ &= \frac{1 + \cos(x)}{\sin(x)} \\ \cot^2\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{1 + \cos(x)}{1 - \cos(x)} \\ \end{align}$

Potenser

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$

$\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$

$\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}$

$\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}$

$\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}$

$\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$

$\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$

$\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}$

$\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}$

$\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}$

$\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}$

Samband för två vinklar

$\begin{align} \sin(x \pm y) &= \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y) \\ \cos(x \pm y) &= \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y) \\ \tan(x \pm y) &= \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)} \\ \cot(x \pm y) &= \frac{\cot(x) \cot(y) \mp 1}{\cot(y) \pm \cot(x)} \\ \end{align}$

Observera att $\pm$ och $\mp$ är olika tecken. Till exempel är cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) medan cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y).

$\begin{align} \frac{\sin(x) - \sin(y)}{\sin(x) + \sin(y)} &= \frac{\tan\frac{x - y}{2}}{\tan\frac{x + y}{2}} \\ \frac{\cos(x) - \cos(y)}{\cos(x) + \cos(y)} &= -\tan\left( \frac{x + y}{2} \right) \tan\left( \frac{x - y}{2} \right) \\ \frac{\tan(x) - \tan(y)}{\tan(x) + \tan(y)} &= \frac{\sin(x - y)}{\sin(x + y)} \\ \frac{\cot(x) - \cot(y)}{\cot(x) + \cot(y)} &= -\frac{\sin(x - y)}{\sin(x + y)} \\ \end{align}$

Summor

$\begin{align} \sin(x) + \sin(y) &= 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) \\ \cos(x) + \cos(y) &= 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) \\ \tan(x) + \tan(y) &= \frac{\sin(x + y)}{\cos(x) \cos(y)} \\ \cot(x) + \cot(y) &= \frac{\sin(x + y)}{\sin(x) \sin(y)} \\ \end{align}$

Differenser

$\begin{align} \sin(x) - \sin(y) &= 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right) \\ \cos(x) - \cos(y) &= -2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right) \\ \tan(x) - \tan(y) &= \frac{\sin(x - y)}{\cos(x) \cos(y)} \\ \cot(x) - \cot(y) &= -\frac{\sin(x - y)}{\sin(x) \sin(y)} \\ \end{align}$

Produkter

$\begin{align} \sin\left (x\right ) \sin\left (y\right ) &= {\cos\left (x - y\right ) - \cos\left (x + y\right ) \over 2} \\ \sin\left (x\right ) \cos\left (y\right ) &= {\sin\left (x - y\right ) + \sin\left (x + y\right ) \over 2} \\ \cos\left (x\right ) \cos\left (y\right ) &= {\cos\left (x - y\right ) + \cos\left (x + y\right ) \over 2} \\ \end{align}$

Inversa funktioner

$\begin{align} \sin(\arcsin(x)) &= x &\quad \cos(\arccos(x)) &= x \\ \tan(\arctan(x)) &= x &\quad \cot(\arccot(x)) &= x \\ \sec(\arcsec(x)) &= x &\quad \csc(\arccsc(x)) &= x \\ \end{align}$

$\begin{align} \arcsin(\sin(x)) &= x,\mbox{ för }-\pi/2 \leq x \leq \pi/2 \\ \arccos(\cos(x)) &= x,\mbox{ för }0 \leq x \leq \pi \\ \arctan(\tan(x)) &= x,\mbox{ för }-\pi/2 < x < \pi/2 \\ \arccot(\cot(x)) &= x,\mbox{ för }0 < x < \pi \\ \arcsec(\sec(x)) &= x,\mbox{ för }0 \leq x < \pi/2 \mbox{ eller }\pi/2 < x \leq \pi \\ \arccsc(\csc(x)) &= x,\mbox{ för }-\pi/2 \leq x < 0 \mbox{ eller }0 < x \leq \pi/2 \\ \end{align}$

Kompletterande

$\begin{align} \arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) \\ \arccot(x) &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \\ \arccsc(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsec(x) \\ \end{align}$

Likheter för negativa argument

$\begin{align} \arcsin(-x) &= - \arcsin(x) \\ \arccos(-x) &= \pi - \arccos(x) \\ \arctan(-x) &= - \arctan(x) \\ \arccot(-x) &= \pi - \arccot(x) \\ \arcsec(-x) &= \pi - \arcsec(x) \\ \arccsc(-x) &= - \arccsc(x) \\ \end{align}$

Reciproka funktioner

$\begin{align} \arccos \frac{1}{x} &= \arcsec(x) \\ \arcsin \frac{1}{x} &= \arccsc(x) \\ \arctan \frac{1}{x} &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) = \arccot(x),\text{ om }x > 0 \\ \arctan \frac{1}{x} &= -\frac{\pi}{2} - \arctan(x) = -\pi + \arccot(x),\text{ om }x < 0 \\ \arccot \frac{1}{x} &= \frac{\pi}{2} - \arccot(x) = \arctan(x),\text{ om }x > 0 \\ \arccot \frac{1}{x} &= \frac{3\pi}{2} - \arccot(x) = \pi + \arctan(x),\text{ om }x < 0 \\ \arcsec \frac{1}{x} &= \arccos(x) \\ \arccsc \frac{1}{x} &= \arcsin(x) \\ \end{align}$

Se även

• Trigonometri
• Trigonometrisk funktion
• Trigonometrisk tabell
• Trigonometriska ettan