Logaritm

Uppslagsordet LN leder hit. För andra betydelser, se Nationernas förbund.

Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen e, grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7. Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (b, 1) för basen b, då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.

Logaritmen för ett tal a är den exponent x till vilket ett givet tal, basen b, måste upphöjas för att anta värdet a:

$\ a = b^x$

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.

Reella logaritmen

För reella tal är a > 0 och b > 0. Logaritmen x kan anta godtyckliga värden i intervallet (-∞, ∞). I uttrycket $a = b^x$ kallas x logaritmen av a i basen b och skrivs

$\ x = \log_b a$

Tiologaritmen eller briggska logaritmen

Graf över tiologaritmen

Ett praktiskt val av bas när man använder den decimala notationen är den briggska logaritmen (10-logaritmen): den exponent x till vilken man ska upphöja 10 för att få talet a:

$a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a$.

Andra beteckningssätt för log₁₀ a är log a och lg a.

I många sammanhang är det dock enklare att använda den naturliga logaritmen då man slipper en konstant för att konvertera till just den naturliga logaritmen.

Naturliga logaritmen (logaritmus naturalis)

En speciell bas är e, basen för den naturliga logaritmen. Beteckningen för $\log_e\, a$ är $\ln \,a$.

Detta ger sambanden

$a = e^x \Leftrightarrow x = \ln a.$

En viktig anledning till man använder denna logaritm är att den är den inversa funktionen till exponentialfunktionen $e^x$.

En intressant egenskap hos den naturliga logaritmfunktionen är att dess derivata är 1/x. Detta gör att den fyller ut en lucka bland de primitiva funktionerna till potensfunktioner:

$\int x^n dx=$$\left\{\begin{matrix}\frac {x^{n+1}} {n+1} +C & \mbox{om }n\ne -1\\ \ln x+C& \mbox{om }n=-1 \end{matrix}\right.$

$n = -1$ leder till division med noll, vilket är otillåtet. För varje tal nära $-1$ kommer "första primitiva funktionen" att vara godtyckligt nära $\ln(x)$. Därför kan logaritmen ses som en kontinuerlig utvidgning av polynomen, ett faktum som även kan motiveras genom att betrakta vissa speciella gränsfall av interpolationspolynomen (kanske enklast via Newtons interpolationspolynom).

Se även

Definitionen av den naturliga logaritmens bas talet e.

Komplexa logaritmen

Den flervärda komplexa logaritmen $\log$ definieras som urbilden till exponentialfunktionen, det vill säga

$\log : \mathbb C \to 2^\mathbb C,\ z\mapsto \{w\in \mathbb C : \exp w = z\}$

Vilket också kan uttryckas som

$\ \log z = \ln |z| + i\arg z$

där + innebär addition av vektormängder och $\arg$ är argumentsfunktionen. Den komplexa logaritmen uppfyller alla räkneregler för den reella logaritmen. Man kan studera en gren av logaritmen, som då blir en envärd funktion. För principalgrenen $\mathrm{Log}$ används principalgrenen av argumentsfunktionen, dvs $\mathrm{Im}\ \mathrm{Log}\ z\in(-\pi,\pi].$

Diskreta logaritmen

På samma sätt som ovan kan man definiera en logaritm i en godtycklig ändlig kropp. Det är då ett väldefinierat begrepp eftersom en kropp under multiplikation (andra kompositionsoperatorn) är isomorf med en cyklisk delgrupp. Som bas för logaritmen väljer man en generator för denna cykliska grupp. Utvidgningen är helt analog med reella logaritmer. Skillnaden mellan reella logaritmer och diskreta logaritmer är att den diskreta logaritmen alltid blir ett heltal. I övrigt har diskreta och reella logaritmen likartade lagar och följer ungefärligen samma teori.

Till skillnad från vanliga (reella) logaritmer är det generellt sett svårt att hitta logaritmen för ett givet tal. Man kallar detta diskreta logaritmproblemet. Faktum är att det är så svårt, att man använder denna svårighet för att konstruera säker kryptering. Poängen är att det är lätt att verifiera en föreslagen logaritm, men svårt att finna den. Metoden påminner om hur man i krypteringsalgoritmer utnyttjar problemet med finna primtalsfaktorisering av stora tal.

Derivata

Derivatan av en logaritmfunktion

$y = \log_b\,x$

är

$\frac{dy}{dx} = \frac 1 {x \ln b}.$

Speciellt är $D(\ln x)=\frac 1 x$ (se ovan).

Logaritmlagarna

• $\ \log_b a = x \leftrightarrow b^x = a$

• $\ b^{\log_b a } = a$

• $\ a^x = e^{x\ln a}$

• $\ \log_a(xy) = \log_a(x)\,+\,\log_a(y)$

• $\ \log{}(a^p) = p \log{}(a)$

• $\ \log_a \left(\frac{x}{y} \right) = \log_a(x)-\log_a(y)$

• $\ \log_a(x^p)=p\,\log_a(x)$

• $\ \log_a x=\frac {\log_b x}{\log_b a}=\frac{\ln x}{\ln a}$

• $\ \log{} (\sqrt[p]{a}) = {1 \over p} \log (a)$

• $\ \lg a = \log_{10} a$ (tiologaritmen)
• $\ \ln a = \log_e a$ (naturliga logaritmen)

Exempel

Logaritmernas främsta ursprungliga nytta var att de ersatte långa sekvenser av multiplikationer till mindre tidskrävande sekvenser av additioner. Antag att vi ska beräkna talet $2 \cdot 5$ utan att använda multiplikation. Man kan då göra på följande sätt:

Beräkna $\log (2) \approx 0,30103$, $\log (5) \approx 0,69897$ och lägg ihop dem. $\log(2) + \log(5) \ = 1,00000$. Å andra sidan vet vi genom logaritmlagarna att summan blir $\log(2) + \log(5) = \log(2 \cdot 5)$. Om vi nu tar reda på vilket tal som har logaritm $1,00000$ har vi beräknat produkten, utan att utföra någon multiplikation. Svaret här är, naturligtvis, 10.

Även i datorernas tidsålder kan detta vara användbart, exempelvis i samband med olika signalnivåer när man använder decibelskalan.

Exempel (reella logaritmen)

Logaritmerna kan användas för att lösa vissa ekvationer. Säg att vi vill finna $x$ i ekvationen $10^x = 1000$. Ett enkelt sätt är att inse att $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$, d.v.s. att lösningen är alltså $x = 3$. Ett annat sätt utnyttjar logaritmer:

Tag 10-logaritmen av båda sidor.

$\log(10^x) = \log (1000)$

Utnyttja logaritm-lagarna.

$x \cdot \log(10) = \log (1000)$

Slå $\log (10)$ och $\log (1000)$ på miniräknaren. Då får man $\log (10) = 1$ och $\log (1000) = 3$, alltså har vi ekvationen $x \cdot 1 = 3$. Lösningen är alltså $x = 3$, precis som vi kom fram till tidigare. Skillnaden är att vi använt logaritmer för att lösa den, medan vi tidigare "såg" lösningen. Fördelen med logaritm-lösningen är att den fungerar även om vi har en ekvation som $10^x = 1234$, som inte har en heltalslösning (enligt Gelfond–Schneiders sats kommer lösningen dessutom att vara transcendent, d.v.s. talet går inte att beskriva algebraiskt).

Exempel (diskreta logaritmen)

På samma sätt som ovan kan man använda diskreta logaritmer för att lösa ekvationer i godtyckliga kroppar. Här visas hur man bestämmer diskreta logaritmer i en given kropp.

För exemplets skull, kommer vi att betrakta Galoiskroppen av ordning 27, $GF(3^3)$. Vi noterar att den inte är isomorf med till exempel $\mathbb{Z}_{27}$. (Den är inte en kropp exempelvis därför att den har nolldelare – betraktar man kroppar isomorfa med $\mathbb{Z}_p$ där $p=\textrm{primtal}$ kan resonemanget förenklas ganska mycket.) Vidare genereras den av ett kubiskt irreducibelt polynom över $\mathbb{Z}_3$ via Kroneckers konstruktion. Ett sådant irreducibelt polynom är $x^3+2x+1$ vilket inses genom att manuellt undersöka de möjliga rötterna eller kanske enklare genom att använda Fermats lilla sats. Därmed har vi en kropp $\mathbb{Z}_3[x]/<x^3+2x+1>$ med 27 element som kommer att vara isomorf med $GF(27)$. I den kan man nu beräkna diskreta logaritmer.

Låt oss här återge stegen vi tagit lite mer detaljerat. Vi har hittat ett irreducibelt polynom över $\mathbb{Z}_3$. Då kommer $\mathbb{Z}_3[x]/<x^3+2x+1>$ att bli

• en kropp, som
• genereras av ett principalt ideal.

Detta förklaras på följande sätt. Dels är $\mathbb{Z}_3$ en kropp och därför är varje ideal i $\mathbb{Z}_3[x]$ principalt. Dels är polynomet $x^3+2x+1$ irreducibelt. Därför är $<x^3+2x+1>$ ett maximalt ideal. Och därför är kvotringen $\mathbb{Z}_3[x]/<x^3+2x+1>$ inte bara en kvotring, utan en kropp.

Låt oss ta reda på vad elementet/sidoklassen $x^2+1$ har som diskret logaritm. Genom att successivt beräkna potenser $x^n, n = 0, 1, \ldots, 26$ fås att första gången $x^n = x^2+1$ är när $n = 21$. En sådan lista ser ut ungefär så här:

• $\ n = 0$, $\ x^{0} = 1$
• $\ n = 1$, $\ x^{1} = x$
• $\ n = 2$, $\ x^{2} = x^2$
• $\ n = 3$, $\ x^{3} = x+2$
• $\ n = 4$, $\ x^{4} = x^2+2x$
• $\ n = 5$, $\ x^{5} = 2x^2+x+2$
• $\ n = 6$, $\ x^{6} = x^2+x+1$
• $\ \ldots$
• $\ n = 21$, $\ x^{21} = x^2+1$

Därför är $\log_{x} (x^2+1) = 21$. Notera att det var nödvändigt att gå igenom ett stort antal exponenter $n = 0, 1, \ldots$ för att hitta den vi sökte. Det finns bättre algoritmer för att hitta diskreta logaritmen. Men även med dessa är det generellt sett en tidsödande process, eftersom man kan konstruera kroppar av mycket hög ordning.

Antilogaritm

Antilogaritmen är ett annat namn för potens. Även om termen visserligen används är det ett inte helt lyckat bruk, eftersom potens är konventionen.

• Wikimedia Commons har media som rör Logaritm
  Bilder & media