Lognormalfördelning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Lognormalfördelningen är en sannolikhetsfördelning som förekommer inom matematisk statistik. Den beskriver fördelningen för en stokastisk variabel vars logaritm är normalfördelad. Med andra ord, om Y är en normalfördelad stokastisk variabel, så är X = exp(Y) lognormalfördelad.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En lognormalfördelad stokastisk variabel kan definieras med hjälp av täthetsfunktionen


f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{(\ln (x) - \mu)^2}{2\sigma^2}}

där  \mu och  \sigma är parametrar i den normalfördelade stokastiska variabel som ges av logaritmen.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En lognormalfördelad stokastisk variabel har väntevärde


    \mathrm{E}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}

och varians


    \mathrm{Var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}.\,

Fördelningen har moment av alla ordningar, men ingen momentgenererande funktion. Det gäller också att produkter av oberoende lognormalfördelade stokastiska variabler är lognormalfördelade. Om

 X_m \sim \operatorname {Log-N} (\mu, \sigma_m^2), \ m = 1,\dots, n

är oberoende och lognormalfördelade variabler med samma μ-parameter, men inte nödvändigtvis samma σ, och  Y = \prod_{m=1}^n X_m, så är

 Y \sim \operatorname {Log-N} \left( n\mu, \sum _{m=1}^n \sigma_m^2 \right).

Däremot är inte summan av oberoende lognormalfödelade stokastiska variabler lognormalfördelad.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.