Lokalt kompakt

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken kallas ett topologiskt rum X lokalt kompakt om varje punkt  x \in X har en lokal bas som består av kompakta mängder. Detta innebär att för varje öppen mängd U som innehåller x så finns en kompakt mängd V sådan att  x \in V \subset U .

Ett topologiskt rum sägs vara starkt lokalt kompakt om varje punkt i rummet ligger i en mängd vars slutna hölje är kompakt.

Kompaktifiering[redigera | redigera wikitext]

Ett Hausdorffrum X som är lokalt kompakt kan inbäddas i ett kompakt Hausdorffrum genom enpunktskompaktifiering. Denna går ut på att man lägger till en punkt  \infty "i oändligheten", och låter de öppna mängderna i  X \cup \{\infty\} bestå av de öppna mängderna i X, samt mängder på formen  X \setminus G där G är kompakt i X. Ofta utvidgas  \mathbb{R}^n och  \mathbb{C}^n på detta sätt.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

 \mathbb{R}^n , med den vanliga topologin, är ett typiskt exempel på ett lokalt kompakt rum. Detta eftersom de slutna bollarna med positiv radie är kompakta, och givet en punkt  x \in \mathbb{R}^n och en öppen mängd U, så finns det en sluten boll V sådan att  x \in V \subset U

För topologiska vektorrum som är ett Hausdorffrum gäller allmänt att de är lokalt kompakta omm de är ändligtdimensionella.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Kelley, John (1955). General Topology. Springer Verlag. Sid. 242-243. ISBN 0-387-90125-6