Lp-rum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett L^p-rum är ett funktionsrum inom matematik. L^p-rummet består av funktioner som är p-integrerbara. Man behöver L^p-rummet till exempel inom måtteori och funktionalanalys.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

L^p-rummet är en måtteoretisk konstruktion och man kan bara definiera det för måttrum.

Låt 1 \leq p < \infty och (X,\mathcal{F},\mu) vara ett måttrum så att måttet µ är ett fullständigt mått. Man behöver fullständighet här eftersom man vill integrera alla delmängder för en nollmängd.

För mätbara funktioner f : X \rightarrow \overline{\R} definierar man L^p-normen

\|f\|_p := \left( \int_X |f|^p \,d\mu \right)^{1/p},

dvs L^p-normen är en p-rot av måttintegralen för funktionen |f|^p. För p = \infty definieras L^\infty-normen:

\|f\|_\infty := \mbox{ess sup} \, |f|,

där ess sup är väsentligt supremum.

L^p-normen, med 1 \leq p \leq \infty, är inte en norm för alla mätbara funktioner. Men man kan definiera ett rum där det är en norm. \mathcal L^p-rummet, för ett fixt p, är mängden:

\mathcal L^p = \mathcal L^p (X,\mathcal{F},\mu) := \{f : \|f\|_p < \infty\}.

\mathcal L^p-rummet är ett vektorrum. Eftersom man har definierat L^p-rummet utifrån en måttstruktur så är \mathcal L^p-normen bara en seminorm, dvs

\|f+g\|_p \leq \|f\|_p +\|g\|_p

och

\|af\|_p = |a|\|f\|_p

för f,g \in \mathcal L^p\, och a \in \R men det finns måttrum och funktioner där

\|f\|_p = 0 men f \neq 0

gäller, exempelvis om man tar den vanliga måttstrukturen på de reella talen, med Borelalgebran som sigma-algebra och Lebesguemåttet som mått, då f = \chi_\N\, är ett exempel på en funktion som är nollskild men har en norm som är noll. Detta visar att L^p-normen inte är en norm på detta rum.

För att få en riktig norm definierar man en ekvivalensrelation i \mathcal L^p genom att

f\sim g \, om och endast om \| f - g \|_p=0

och definiera L^p-normen för ekvivalensklasser

\| f^\sim \|_p := \| f \|_p

där  f^\sim är ekvivalensklassen med representant f:

f^\sim := \{g \in \mathcal L^p : f \sim g \}.

Kvotrummet  L^p = \mathcal L^p / \sim med L^p-normen kallas för L^p-rummet. I rummet L^p identifieras funktioner f och g vars skillnad f - g har en norm som är noll. Exempelvis, från exemplet ovan, identifieras f = \chi_\N\, med funktionen g = 0.

\ell^p-rum[redigera | redigera wikitext]

Som ett specialfall av L^p-rum kan man få de så kallade \ell^p-rummen. Om X är uppräknelig och måttet µ är räknemåttet betecknas

\ell^p := L^p\,,

så att för 1 \leq p < \infty\,

\ell^p = \left\{(x_i)_{i=1}^\infty : \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p< \infty\right\},

dvs, \ell_p kan ses som alla följder i X så att summan av termerna upphöjt till p konvergerar.

Man får också:

\ell^\infty = \left\{(x_i)_{i=1}^\infty : \sup_{i\in\N} |x_i|< \infty\right\}.

dvs, \ell^\infty-rummet är rummet av alla begränsade följder.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Nedan finns några egenskaper för L^p-rummen och normerna.

Olikheter[redigera | redigera wikitext]

Hölders olikhet: om p>1\, och q>1\, med

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\,,

och f \in L^p och g \in L^q så är

\|fg\|_1 \leq \|f\|_p \|g\|_q.

Om p=1\, och q=\infty så är

\|fg\|_1 \leq \|f\|_1 {\| g \|}_\infty .

Talen p och q kallas för Hölderkonjugat.

Minkowskis olikhet: Man kallar ofta triangelolikheten

\|f+g\|_p \leq \|f\|_p +\|g\|_p

när f,g \in L^p\, för Minkowskis olikhet.

Dualrummet[redigera | redigera wikitext]

Om p och q är Hölderkonjugat så är L^p\,:s dualrummet (L^p)^*\, isomorf till L^q\,, dvs

(L^p)^* \cong L^q\,.

Därför säger man ofta att L^p:s dualrum är L^q.

Notera att det finns måttrum där (L^\infty)^*\, inte är isomorf med L^1\,.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1991
  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
  • M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953
  • R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge University Press, 2002
  • G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley, 1984
  • https://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/2842/avaruude.pdf?sequence=1
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.