Lp-rum

Ett $L^{p}$-rum är ett funktionsrum inom matematik. $L^{p}$-rummet består av funktioner som är p-integrerbara. Man behöver $L^{p}$-rummet till exempel inom måtteori och funktionalanalys.

Formell definition

$L^{p}$-rummet är en måtteoretisk konstruktion och man kan bara definiera det för måttrum.

Låt $1\leq p<\infty$ och $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ vara ett måttrum så att måttet µ är ett fullständigt mått. Man behöver fullständighet här eftersom man vill integrera alla delmängder för en nollmängd.

För mätbara funktioner $f:X\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ definierar man $L^{p}$-normen

$\|f\|_{p}:=\left(\int _{X}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}$,

dvs $L^{p}$-normen är en p-rot av måttintegralen för funktionen $|f|^{p}$. För $p=\infty$ definieras $L^{\infty }$-normen:

$\|f\|_{\infty }:={\mbox{ess sup}}\,|f|$,

där ess sup är väsentligt supremum.

$L^{p}$-normen, med $1\leq p\leq \infty$, är inte en norm för alla mätbara funktioner. Men man kan definiera ett rum där det är en norm. ${\mathcal {L}}^{p}$-rummet, för ett fixt p, är mängden:

${\mathcal {L}}^{p}={\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu ):=\{f:\|f\|_{p}<\infty \}$.

${\mathcal {L}}^{p}$-rummet är ett vektorrum. Eftersom man har definierat $L^{p}$-rummet utifrån en måttstruktur så är ${\mathcal {L}}^{p}$-normen bara en seminorm, dvs

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$

och

$\|af\|_{p}=|a|\|f\|_{p}$

för $f,g\in {\mathcal {L}}^{p}\,$ och $a\in \mathbb {R}$ men det finns måttrum och funktioner där

$\|f\|_{p}=0$ men $f\neq 0$

gäller, exempelvis om man tar den vanliga måttstrukturen på de reella talen, med Borelalgebran som sigma-algebra och Lebesguemåttet som mått, då $f=\chi _{\mathbb {N} }\,$ är ett exempel på en funktion som är nollskild men har en norm som är noll. Detta visar att $L^{p}$-normen inte är en norm på detta rum.

För att få en riktig norm definierar man en ekvivalensrelation i ${\mathcal {L}}^{p}$ genom att

$f\sim g\,$ om och endast om $\|f-g\|_{p}=0$

och definiera $L^{p}$-normen för ekvivalensklasser

$\|f^{\sim }\|_{p}:=\|f\|_{p}$

där $f^{\sim }$ är ekvivalensklassen med representant f:

$f^{\sim }:=\{g\in {\mathcal {L}}^{p}:f\sim g\}.$

Kvotrummet $L^{p}={\mathcal {L}}^{p}/\sim$ med $L^{p}$-normen kallas för $L^{p}$-rummet. I rummet $L^{p}$ identifieras funktioner f och g vars skillnad f - g har en norm som är noll. Exempelvis, från exemplet ovan, identifieras $f=\chi _{\mathbb {N} }\,$ med funktionen g = 0.

$\ell ^{p}$-rum

Som ett specialfall av $L^{p}$-rum kan man få de så kallade $\ell ^{p}$-rummen. Om X är uppräknelig och måttet µ är räknemåttet betecknas

$\ell ^{p}:=L^{p}\,$,

så att för $1\leq p<\infty \,$

$\ell ^{p}=\left\{(x_{i})_{i=1}^{\infty }:\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}<\infty \right\},$

dvs, $\ell _{p}$ kan ses som alla följder i X så att summan av termerna upphöjt till p konvergerar.

Man får också:

$\ell ^{\infty }=\left\{(x_{i})_{i=1}^{\infty }:\sup _{i\in \mathbb {N} }|x_{i}|<\infty \right\}.$

dvs, $\ell ^{\infty }$-rummet är rummet av alla begränsade följder.

Egenskaper

Nedan finns några egenskaper för $L^{p}$-rummen och normerna.

Olikheter

Hölders olikhet: om $p>1\,$ och $q>1\,$ med

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$,

och $f\in L^{p}$ och $g\in L^{q}$ så är

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$.

Om $p=1\,$ och $q=\infty$ så är

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{1}{\|g\|}_{\infty }$.

Talen p och q kallas för Hölderkonjugat.

Minkowskis olikhet: Man kallar ofta triangelolikheten

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$

när $f,g\in L^{p}\,$ för Minkowskis olikhet.

Dualrummet

Om p och q är Hölderkonjugat så är $L^{p}\,$:s dualrummet $(L^{p})^{*}\,$ isomorf till $L^{q}\,$, dvs

$(L^{p})^{*}\cong L^{q}\,$.

Därför säger man ofta att $L^{p}$:s dualrum är $L^{q}$.

Notera att det finns måttrum där $(L^{\infty })^{*}\,$ inte är isomorf med $L^{1}\,$.

Se även

• Lebesgueintegration
• Funktionalanalys
• Måtteori
• Fouriertransform
• Tb-sats

Referenser

• W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1991
• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953
• R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge University Press, 2002
• G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley, 1984
• https://web.archive.org/web/20131111192546/https://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/2842/avaruude.pdf?sequence=1