Mätbar funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En mätbar funktion är inom matematiken en speciell sorts funktion mellan mätbara rum som bevarar mätbarheten.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

För en mätbar funktion är den inversa bilden av en mätbar mängd också mätbar.

Låt (X,\mathcal{F})\, och (Y,\mathcal{G})\, vara mätbara rum.

En funktion f: X \rightarrow Y är mätbar om

f^{-1} (G) \in \mathcal{F}\,

för alla G \in \mathcal{G}\,.

Man kan också säga att en funktion är \mathcal{F}\,-mätbar eller (\mathcal{F},\mathcal{G})\,-mätbar.

Notera att man inte behöver ha något mått definierat på rummen för att avgöra om en funktion är mätbar.

Lebesguemätbar funktion[redigera | redigera wikitext]

Om (Y,\mathcal{G}) = (\R,\mbox{Leb}\,\R)\, kan man också säga att en mätbar funktion är Lebesguemätbar.

Borelfunktion[redigera | redigera wikitext]

Låt

\overline{\R}:=\R\cup \{ -\infty,  +\infty \}.

Om X är ett topologiskt rum, (X,\mathcal{F}) = (X,\mbox{Bor}\,X)\, och (Y,\mathcal{G}) = (\overline{\R},\mbox{Bor}\,\overline{\R})\, så kallas en mätbar funktion

f: X \rightarrow \overline{\R}

för Borelfunktion.

Eftersom Borelmängder är genererad av öppna mängder kan man bevisa att en funktion f: X \rightarrow \R \cup \{ -\infty,  +\infty \} är en Borelfunktion om och endast om

f^{-1} (G)\,, f^{-1} (\{ -\infty \} )\, och f^{-1} (\{ +\infty \} )\, .

är Borelmängder för alla öppna mängder G \subset \mathbb{R}

Alternativt, en funktion f: X \rightarrow \overline{\R} är en Borelfunktion om och endast om

\lbrace x \in A : f(x) > c \rbrace

är Borelmängder för alla c \in \R.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Alla kontinuerliga funktioner i \R^n är Lebesguemätbara och Borelfunktioner.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Office-book.svg
Den här artikeln ingår i boken: 
Måtteori 

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.