Möbiusavbildning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En Möbiusavbildning eller Möbiustransformation, efter August Ferdinand Möbius, är en bijektiv konform avbildning av det utökade komplexa talplanet (komplexa talen utökade med en punkt i oändligheten) på sig självt. En Möbiusavbildning bevarar vinklar och cirklinjer (räta linjer ses som cirklar som passerar oändlighetspunkten).

En Möbiusavbildning är en rationell funktion

z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}

där a,b,c,d \in \mathbb{C} \,:\  ad-bc \neq 0. Följande gäller generellt för denna avbildning

  • punkten z = -d/c avbildas på \infty
  • punkten z=\infty avbildas på a/c

Villkoret ad-bc \neq 0 är nödvändigt för att transformationen skall vara inverterbar. Den inversa avbildningen ges av

w \mapsto \frac{\left(\frac{d}{ad-bc}\right) w - \left(\frac{b}{ad-bc}\right)}{-c w + a}

En Möbiusavbildning bestäms entydigt om man anger tre punkter och vilka punkter de avbildas på, enligt följande: Låt z_1, z_2 och z_3 vara de tre ursprungliga punkterna och w_1, w_2 respektive w_3 vara de punkter de skall avbildas på. Då kan avbildningen skrivas


\frac{(z-z_2)(z_1-z_3)}{(z-z_3)(z_1-z_2)} =
\frac{(w-w_2)(w_1-w_3)}{(w-w_3)(w_1-w_2)}

Spegelpunkter[redigera | redigera wikitext]

Spegelpunkten till ett komplext tal z relativt en cirkel med radie r och centrum i z_0 är det tal z^* som uppfyller följande:

  • z^* ligger på strålen utgående från z_0 genom z
  • |z - z_O||z^* - z_0| = r^2

Man definierar dessutom z_0^* = \infty. Om speciellt cirkeln är en linje L, så definiera z^* som det tal som ligger på normalen till L som går genom z, och som ligger lika långt från L som z, men på andra sidan. Exempelvis gäller z^* = \bar{z} om l är reella tallinjen. Möbiusavbildningar överför z och dess spegelpunkt z^* relativt en cirkel C på punkter w och w^\prime, där w^\prime = w^* relativt bilden av C (som är en cirkel).

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]