Manhattangeometri

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Längd i manhattangeometri i jämförelse med euklidisk geometri. De röda, blå och gula linjerna har alla samma längd i båda geometrierna, men den gröna har i euklidisk längden 6×√2 ≈ 8,48 och är den unika kortaste vägen. Men i manhattangeometri är den gröna linjens längd fortfarande 12 och alltså inget kortare än någon av de andra linjerna.

Manhattangeometri (på engelska taxicab geometry, det vill säga taxibilsgeometri) är inom matematik en geometri som inte mäter avstånd mellan två punkter som vanligt med euklidisk norm som i euklidisk geometri utan med så kallad 1-norm. Detta innebär att längden från origo till punkten (x, y) beräknas som |x|+|y|, det vill säga som förflyttning i x-led adderat med förflyttningen i y-led. Detta kan liknas med hur långt man måste gå mellan två punkter bland höghusen i Manhattan, man kan inte gå snett genom dem utan måste följa de vinkelräta gatorna.

Uppbyggnad[redigera | redigera wikitext]

Cirklar i diskret och kontinuerlig manhattangeometri.

Man kan börja med att tänka sig en diskret mängd punkter (korsningar i Manhattan) förbundet med vinkelräta gator. Om man låter dessa diskreta punkter ligga oändligt nära varandra med vinkelräta gator oändligt tätt har man fått manhattangeometrin.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

Manhattanavståndet, d_1, mellan två vektorer \mathbf{p}, \mathbf{q} i ett n-dimensionell reellt vektorrum med fixt kartesiskt koordinatsystem är summan av längderna av projektionen från sträckan mellan punkterna på koordinataxlarna. Det vill säga:

d_1(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \|\mathbf{p} - \mathbf{q}\|_1 = \sum_{i=1}^n |p_i-q_i|,

där  \mathbf{p}=(p_1,p_2,\dots,p_n)\, och  \mathbf{q}=(q_1,q_2,\dots,q_n)\, är vektorer.

Cirklar[redigera | redigera wikitext]

A; normala avstånd, B; avstånd på Manhattan

En cirkel definieras som mängden av punkter som befinner sig på ett visst avstånd från en given punkt. Den givna punkten kallar vi ofta medelpunkt och avståndet kallas cirkelns radie. I manhattangeometri ser en cirkel inte ut som vi är vana vid, utan, som bilden visar, som en kvadrat vriden 45 grader mot x- och y-axlarna.

Manhattanavstånd i schack[redigera | redigera wikitext]

Avståndet på ett schackbräde för torn mäts i manhattanavstånd, och även för löparen om man vrider planen 45 grader och låter de diagonala rutorna utgöra axlarna.