Matematik

Matematiska begrepp
Tal Mängd Variabel Ekvation Funktion Operator Vektor Linjärt rum

Uppslagsordet Matte leder hit. För andra betydelser, se Matte (olika betydelser).

Del av Mandelbrotmängden, en berömd fraktal. Den kan beskrivas med en enkel formel, men uppvisar en häpnadsväckande komplexitet: ju närmare man betraktar den, desto fler detaljer uppenbarar sig.

Matematik är en abstrakt och generell vetenskap om problemlösning och metodutveckling. Alternativt vetenskapen om kvantitativa relationer och rumsliga strukturer i den verkliga världen. Abstrakt för att den frigjort sig från problemens konkreta ursprung och generell för att den är tillämpbar i ett stort antal områden. Exempel på matematiska koncept är tal, data, struktur, kvantiteter, rum och deras förhållanden. Antingen som abstrakta koncept (ren matematik) eller tillämpningar i vetenskapliga discipliner som fysik och teknik (tillämpad matematik).

Medan naturvetenskapen studerar entiteter i tid och rum är det inte uppenbart att samma är sant för de objekt som studeras i matematik. Vidare skiljer sig metoderna för undersökning åt: naturvetenskapen tenderar att använda metoder av induktion och matematiken metoder av deduktion. Av bland annat nämnda skäl väcker matematik ontologiska och epistemologiska frågor skilda från vetenskapsteorin. Dessa frågor behandlas i matematikfilosofi.

Etymologi

Euklides är den mest framstående av antikens matematiker, bäst känd för sitt verk Elementa. Här avbildas Euklides med kompass i Rafael's freskomålning Skolan i Aten.

Det grekiska ordet mathemata betyder ungefär vad som lärs, ibland i en generell bemärkelse, ibland kopplat till astronomi, aritmetik och musik. Ordet mathemata och dess släktord har i efterhand trätt in i etymologin hos andra europeiska språk. Franska mathématiques, spanska matemáticas, latinska mathematica och engelska mathematics har alltså ett gemensamt ursprung. Definitionen av ordet matematik har aldrig varit enhetlig och har varierat genom historien och mellan världsdelar som Europa, Kina och Mellanöstern. I historisk forskning om matematik letas ekvivalenta ord i andra kulturer. Genom att undersöka dessa ord och de aktiviteter som förknippats med dessa har historievetenskapen om matematik utvecklats.

Substantivet matte är i vardagligt tal slanguttryck för ordet matematik, enligt Nationalencyklopedin har slanguttrycket funnits sedan 1924. De engelska motsvarigheterna är math (amerikansk engelska) och maths (brittisk engelska, sedan 1890).

Historia

Rhindpapyrusen från The British Museum. Texten består av 84 problem om numeriska operationer, praktisk problemlösning och geometriska former.

Matematiken har en minst 4000 år lång historia. Vissa menar att matematikens historia går mycket längre bak; bland annat utvecklades matematik i Sumer, södra Mesopotamien och nuvarande Irak, i samband med utvecklandet av skrivkonsten och läsandet för cirka 5000 år sedan. Andra kulturer där matematik förekommiit är babylonisk, egyptisk, grekisk, arabisk, kinesisk, indisk, mayansk och amerikansk kultur.. De matematiska ämnen som diskuterats har varit, bland andra, algebra, analys, tal och talteori, geometri och topologi, matematisk fysik och matematisk astronomi.

Den förste matematikern känd vid namn hette Ahmes och var en egyptisk skrivare som runt 1650 f.Kr. skrev ned ett antal matematiska problem han kallade antika skrifter. Idag kallas Ahmes antika skrifter för Rhindpapyrusen. Texten visar, tillsammans med andra arkeologiska fynd såsom Plimpton 322 (mellan 1900 och 1600 f.Kr., Babylonien) och Moskva-papyrusen (ca 1700 f.Kr. Mellersta riket, Forntida Egypten), att det antika Egypten och Babylonien, civilisationer före Antikens Grekland, hade ett välutvecklat numeriskt notationssystem.

Matematiker

Norman L. Biggs skriver i sin lärobok Discrete Mathematics: "Matematiker behandlar påståenden. Ofta handlar påståendena om tal. Påståendena är antingen sanna eller falska. För att bestämma om ett påstående är sant eller falskt krävs ett bevis."

Notation och terminologi

Tal har i olika kulturer skrivits med olika talsystem, i detta fall det romerska talsystemet.

Mängder brukar illustreras med Venndiagram.

Ekvationer används i flera vetenskaper, bland annat fysik, för att beskriva verkligheten. E=mc² beskriver förhållandet mellan massa och energi.

Matematiska begrepp införs med en definition som beskriver hur begreppet ska tolkas. Här presenteras ett antal grundläggande begrepp inom modern matematik. Nedanstående ska dock inte tolkas som matematiska definitioner, utan försök att förklara hur begreppen används.

Kvantitet

En mängd är en samling objekt som uppfyller Zermelo-Fraenkels mängdteori. Till exempel en samling tal {1, 2, 3} som är en ändlig mängd, {1, 2, 3, ...} är däremot en oändlig mängd där punkterna markerar att numreringen fortsätter. En mängd utan innehåll kallas den tomma mängden. En mängd kan bestå av flera andra delmängder. Mängder studeras inom mängdteori.

Funktioner tar värden från ett område, definitionsmängden, och tilldela värden i ett annat område, värdemängden.

Tal

Ett tal är ett objekt som representerar värdet på en storhet eller kvantitet. De naturliga talen (1, 2, 3...) är en mängd av tal som används för att räkna hela föremål. Genom matematiska operationer kan man definiera nya talmängder. Naturliga tal tillsammans med negativa heltal (till exempel -1) blir heltal, som tillsammans med bråk (till exempel ½) blir rationella tal.

De rationella talen bildar tillsammans med algebraiska tal (till exempel$\sqrt 2$) och transcendenta tal (till exempel π (pi) och e (Eulers tal) de reella talen, som kan utvidgas till de komplexa talen genom att införa imaginära tal.

En operation är ett antal formella steg där en eller flera operander, till exempel tal, förändras enligt ett särskilt mönster, en operator, och ger ett resultat. Exempel på operationer är de fyra räknesätten; addition, subtraktion, multiplikation och division. En algoritm är en, ändlig, uppsättning operationer som utförs stegvis.

Ekvationer består av påståenden om att två matematiska uttryck har samma värde. Till exempel är följande en ekvation: x=5, som innebär att det råder exakt likhet mellan x och 5. Det vill säga, när vi pratar om 5 pratar vi om x och vice versa. Ett ekvationssystem är en uppsättning av ekvationer. En matris är en sorts tabell av tal som kan exempelvis beskriva ett ekvationssystem.

Rum

En vektor kan ses som en lista av tal, kallade element. Vektorer kan visas i koordinatsystem, eller definiera ett så kallat vektorrum. Dessa punkter kan sättas samman till geometriska figurer. En vektor kan i stället för tal bestå av andra objekt, som följer vissa grundläggande räkneregler. Till exempel kan polynom användas som vektorer.

Matematisk notation

Matematisk notation är symboler som låter matematiker uttrycka idéer koncist. Till exempel tros symbolerna för addition och subtraktion uppstått på 1300-talet. Addition betecknas + och subtraktion betecknas -.

Delområden

Aritmetik,räknelära, beskriver räknande och är ett av matematikens äldsta delområden.Aritmetik förknippas ofta med de de fyra räknesätten. Stora delar av aritmetiken är teoretiskt förklarad i vad som kallas talteori.

Geometri vetenskapen om rumsliga strukturer. Under 1600-talet vidaredefinierade René Descartes geometrin till algebraiska formuleringar, ett ämne som kom att kallas analytisk geometri. Några följder av Descartes upptäckter är att olika kägelsnitt kunder representeras i form av korta ekvationer, och att plana geometriska figurer kunde avbildas i ett Kartesiskt koordinatsystem. Vetenskapen som studerar vinklar och deras förhållanden mellan varandra kallas trigonometri, sambanden mellan geometriska och trigonometriska satser är starka. I modern tid har topologi blivit ett viktigt område, där studeras rumsliga strukturer precis som i geometrin med undantaget att formen, och inga avstånd, hos objekten betraktas.

Algebra är en sorts vetenskap om kvantitativ balans. Elementär algebra, linjär algebra och abstrakt algebra är exempel på områden som alla behandlar algebraiska strukturer.

Matematisk analys handlar om förändring. En stor del av analysen består av teorier om gränsvärden, varur teorin om derivator, ett mått på förändring, och integraler, gränsvärdet av en summa, bildas. Ibland pratas det om vektoranalys, där används matematisk analys och linjär algebra för att lösa problem.

Diskret matematik handlar om heltalen. En viktig gren är kombinatorik som diskuterar kombinationer och permutationer av urval.

Sannolikhetsteori är vetenskapen om sannolikheter och deras förhållanden, matematisk statistik är förknippat med sannolikhetsteorins utveckling.

Egenskaper och metodik

Matematiken söker abstrahera och generalisera olika koncept. Till exempel kan det finnas anledning att abstrahera begreppet symmetri, vilket bland annat leder till galoisteori.

Bevisföring

Illustration av bevis för Pythagoras sats.

Matematiska resultat utgörs av satser som har bevisats under antagandet om ett antal påståenden, axiom. Matematiska satser är resultat härledda från ett antal påståenden, axiom, vilka är betraktade som uppenbara och sanna utan bevis. Ett axiom är inte en förmodan eller hypotes ty dem betraktas ej som uppenbara.

Estetik

Många matematiker har talat om skönheten i matematik. Bland annat skrev G. H. Hardy:

”	Matematikerns mönster, som konstnärens eller poetens, måste vara vackra; idéerna, likt färgerna eller orden, måste bindas på ett harmoniskt sätt. Skönhet är det första testet: det finns ingen permanent plats i den här världen för ful matematik.	„
— G. H. Hardy

Matematikfilosofi

Matematikfilosofi avser ett antal filosofiska inriktningar som gör påståenden om vad matematiken är. Exempel på sådana inriktningar är de fyra skolorna: logicism, intuitionism, formalism och predicativism; platonism, nominalism och strukturalism.

Tillämpad matematik

GPS-mottagare använder triangulering för att beräkna position i jordens koordinatsystem.

Statistik

Många moderna vetenskapliga discipliner använder kvantitativa metoder. Exempelvis används statistik inom medicin, fysik, samhällsvetenskap och biologi som ett sätt att diskutera om exempelvis urvalsdata kan användas för att dra slutsatser, så kallade statistiska inferenser, om hela populationer. Statistiska modeller är exempel på matematiska modeller som kan generalisera formella samband eller exempelvis göra prediktioner, vilket är försök till förutsägelser om framtida utfall.^{[källa behövs]}

Fysik

Fysik är den ursprungliga benämningen på all naturvetenskap. När bland andra kemin, biologin och geovetenskaperna blev separata vetenskaper kom fysiken att bli den vetenskap som studerar de grundläggande strukturerna hos materia.

Numerisk analys

Numerisk analys är en vetenskap som består av metoder för att med dator numeriskt finna (approximativa) lösningar till matematiska problem.

Utbildning

Föreläsning i linjär algebra.

I Sverige är matematik, enligt Skolverket, "ett nationellt prioriterat utvecklingsområde". Vidare ingår matematik, enligt kursplanen, i för-, grund-, grundsär-, same-, gymnasie-, gymnasiesärskolan samt vuxenutbildningen. Matematikundervisning förekommer i samtliga världsdelar och kontinenter.

I Sverige bedrivs matematikforskning bland annat på universiteten Stockholms universitet, Uppsala universitet, Chalmers tekniska högskola, Kungliga Tekniska högskolan och Lunds universitet, men även på institutioner som Institut Mittag-Leffler och Fraunhofer-Chalmers Research Centre for Industrial Mathematics. Andra exempel där matematikforskning bedrivs är amerikanska universitet Massachusetts Institute of Technology, engelska Universitetet i Cambridge, schweiziska Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, kinesiska Pekinguniversitetet , franska École polytechnique, japanska Tokyo Kogyo-universitetet och många fler.

Exempel på matematiska tidsskrifter är Acta Mathematica, Annals of Mathematics och The American Mathematical Monthly.

Se även

• Matematiker
• Pseudomatematik
• Tillämpad matematik
• Fysik
• Numerisk analys
• Matematikfilosofi
• Matematikens historia
• Bevis
• Matematisk notation

Källor

Tryckta källor

Stedall, Jacqueline (2012), The History of Mathematics: A Very Short Introduction (utgåva 1), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-959968-4 

Hardy, Godfrey Harold (2012), A Mathematician's Apology (utgåva 19), USA: Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-60463-6 

Elwes, Richard (2010), Maths 1001 (utgåva 2), USA, Kanada: Firefly Books, ISBN 978-1-55407-719-9 

Biggs, Norman (2009), Discrete Mathematics (utgåva 2), USA: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850718-5 

Clapham, Christopher; Nicholson, James (2009), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (utgåva 4), USA: Oxford University Press, ISBN 978-0199235940 

Externa länkar

• En samling länkar till vetenskapliga tidsskrifter om ren och tillämpad matematik finns här [1]. Även ett antal matematiska tidsskrifter riktade mot de som erhållit kandidatexamen finns listade.
• Liste över matematiska institutioner i Sverige [2].
• Matematik på Wikibooks
  Böcker