Matrisexponentialfunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Matrisexponentialfunktionen är inom matematiken en utökning av exponentialfunktionen från komplexa tal till att gälla även kvadratiska matriser, så att man får en matrisfunktion.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Exponentialfunktionen för matriser definieras genom exponentialfunktionens Maclaurinutveckling:

e^X = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}X^k

Denna serie konvergerar för alla matriser, X.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

Diagonalmatriser[redigera | redigera wikitext]

Om D är diagonal med diagonelelementen  d_{ii} är  e^D en diagonalmatris med diagonalelementen  e^{d_{ii}} , dvs:

 D =
\begin{pmatrix}
d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & d_{nn}
\end{pmatrix}
 e^D =
\begin{pmatrix}
e^{d_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & e^{d_{22}} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & e^{d_{nn}}
\end{pmatrix}

Detta kommer av att en diagonalmatris upphöjt till något tal blir en diagonalmatris med diagonalementen upphöjda till detta tal (vilket inses lätt om man tänker på hur matrismultiplikation funkar). Man kan då betrakta Maclaurinutvecklingen av matrisen varje diagonalelement för sig, vilket per definition blir  e^x för diagonalelementet x.

Nilpotenta matriser[redigera | redigera wikitext]

Om N är en nilpotent matris, dvs  N^k = 0 för något heltal k, definieras  e^N som:

 e^N = I + N + \frac{1}{2!}N^2 + \frac{1}{3!}N^3 + ... + \frac{1}{(k-1)!}N^{k-1}

Dvs, Maclaurinutvecklingen av  e^X tills att det bara blir nollmatriser.

Generalisering[redigera | redigera wikitext]

Om matrisen har element som är reella eller komplexa tal kan man använda Jordans normalform för att beräkna  e^A för alla kvadratiska matriser A. En kvadratisk matris kan då skrivas  A = TJT^{-1} där J är en matris på Jordans normalform. Matrisen J kan skrivas  J = D + N för en diagonal matris D och en nilpotent matris N. Så att:

 e^A = e^{TJT^{-1}} = Te^JT^{-1} = Te^{D+N}T^{-1} = Te^De^NT^{-1}

Se även[redigera | redigera wikitext]