Matrisfaktorisering

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken, specifikt linjär algebra, är en matrisfaktorisering en uppdelning av en matris i flera matriser på ett speciellt sätt. Det finns många sorters matrisfaktoriseringar, med tillämpningar inom olika sorters problem.

Faktoriseringar för att lösa linjära ekvationssystem[redigera | redigera wikitext]

LU-faktorisering[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: LU-faktorisering

För alla kvadratiska matriser A, kan matrisen delas upp i så att  A = LU för en nedåt triangulär matris L och en uppåt triangulär matris U. Detta kan sedan användas för att snabbare lösa ekvationssystem av typen  Ax = b .

Choleskyfaktorisering[redigera | redigera wikitext]

Choleskyfaktorisering kan ses som ett specialfall av LU-faktorisering; om matrisen A även är symmetrisk och positivt definit kan A uttryckas som  A=U^TU för en uppåt triangulär matris U.

QR-faktorisering[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: QR-faktorisering

QR-faktorisering kan göras för alla  m \times n -matriser A. Man uttrycker då matrisen A som  A = QR för en ortogonal matris Q och en uppåt triangulär matris R. Då Q är ortogonal ( Q^{-1} = Q^T ) så ekvationssystemet  Ax = b kan skrivas  QRx = b \Leftrightarrow Rx = Q^Tb , som är lättare att lösa.

Uppdelningar med egenvärden och liknande[redigera | redigera wikitext]

Diagonalisering[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Diagonalisering

Om en n\times n-matris A har n egenvärden och lika många egenvektorer (om egenvärdena är distinkta så finns lika många egenvektorer), kan matrisen skrivas på formen  A = TDT^{-1} där D är en diagonalmatris och T är en matris med egenvektorer. I vissa fall kan T göras till en ortogonal matris U så att  A = UDU^{T} . Se även spektralsatsen.

Jordans normalform[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Jordans normalform

För en given kvadratisk matris A blir jordans normalform A=T J T^{-1}, där T utgörs av As egenvektorer och J är en blockdiagonal matris. Varje block i J är bidiagonalt med As egenvärden i diagonalen och antingen ettor eller nollor i superdiagonalen. Diagonalisering är ett specialfall av jordans normalform.

Singulärvärdesuppdelning[redigera | redigera wikitext]

Varje m \times n-matris A kan singulärvärdesuppdelas, så att  A = UDV^H för unitära matriser U och V och så att D har storleken  m \times n och endast har värden (dessa värden kallas singulärvärden) i diagonalen.  V^H betecknar det hermiteska konjugatet till V.