Matrislogaritm

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är matrislogaritm en generalisering av begreppet logaritm till att gälla även kvadratiska matriser. Matrislogaritmen är den inversa matrisfunktionen till matrisexponentialen.

Definition och egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En matris  B är logaritmen till en matris  A om  A är matrisexponentialen av  B :

e^B = A

Matrislogaritmen har följande egenskaper:

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

För diagonaliserbara matriser[redigera | redigera wikitext]

Om  D är en diagonalmatris är logaritmen av  D en diagonalmatris med diagonalelement som är logaritmen (för skalärer) av  D s diagonalelement, dvs:

\ln{ 
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 &  \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 &  \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{pmatrix}}
=
\begin{pmatrix}
\ln{\lambda_1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \ln{\lambda_2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \ln{\lambda_n}
\end{pmatrix}

För en diagonaliserbar matris  A , dvs  A = TDT^{-1} , gäller att  \ln{A} = T\ln{D}T^{-1}\,.

För ej diagonaliserbara matriser[redigera | redigera wikitext]

Alla kvadratiska matriser kan skrivas på Jordans normalform, dvs  A = TJT^{-1} där  J är en blockdiagonal matris där blocken är Jordanblock. Ett Jordanblock  J_p kan skrivas som:

J_p =
\begin{pmatrix}
\lambda & 1       & 0       & \cdots & 0 \\
0       & \lambda & 1       & \cdots & 0 \\
0       & 0       & \lambda & \cdots & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots \\
0       & 0       & 0       & 0      & \lambda
\end{pmatrix}
=\lambda
\begin{pmatrix}
1       & \lambda^{-1}  & 0       & \cdots & 0 \\
0       & 1             & \lambda^{-1}       & \cdots & 0 \\
0       & 0             & \lambda & \cdots & 0 \\
\vdots  & \vdots        & \vdots  & \ddots & \vdots \\
0       & 0             & 0       & 0      & \lambda^{-1}
\end{pmatrix}
=\lambda(1+N)

Där  N är en nilpotent matris med  \lambda^{-1} i diagonalen ovanför huvuddiagonalen.

Vi kan nu använda Maclaurinutvecklingen av  \ln{(1+x)} \,:

\ln{(1+x)} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...

Så att:

 \ln{J_p} = \ln{(\lambda(I+N))} = \ln{(I\lambda)} + \ln{(I+N)} = (\ln{\lambda})I + N - \frac{N^2}{2} + \frac{N^3}{3} - \frac{N^4}{4} + ...

 N är nilpotent kommer  N^k = 0 för något  k , så att serien i slutet kommer att konvergera mot en matris.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Matrisen:

A =
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}

är ett Jordanblock. Vi får då att:

\ln{A} =
(\ln{1})I + 
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}

Se även[redigera | redigera wikitext]