Matrislogaritm

Från Wikipedia

Inom matematiken är matrislogaritm en generalisering av begreppet logaritm till att gälla även kvadratiska matriser. Matrislogaritmen är den inversa matrisfunktionen till matrisexponentialen.

Definition och egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En matris B är logaritmen till en matris A om A är matrisexponentialen av B:

Matrislogaritmen har följande egenskaper:

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

För diagonaliserbara matriser[redigera | redigera wikitext]

Om D är en diagonalmatris är logaritmen av D en diagonalmatris med diagonalelement som är logaritmen (för skalärer) av D:s diagonalelement, dvs:

För en diagonaliserbar matris A, dvs A = TDT-1, gäller att ln A = T ln DT-1.

För ej diagonaliserbara matriser[redigera | redigera wikitext]

Alla kvadratiska matriser kan skrivas på Jordans normalform, dvs A = TJT-1 där J är en blockdiagonal matris där blocken är Jordanblock. Ett Jordanblock Jp kan skrivas som:

Där N är en nilpotent matris med λ-1 i diagonalen ovanför huvuddiagonalen.

Vi kan nu använda Maclaurinutvecklingen av ln(1+x):

Så att:

N är nilpotent kommer Nk = 0 för något k, så att serien i slutet kommer att konvergera mot en matris.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Matrisen:

är ett Jordanblock. Vi får då att:

Se även[redigera | redigera wikitext]