Mersenneprimtal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett Mersennetal M_n är inom talteorin ett heltal på formen 2^n - 1. Det är uppkallat efter den franske amatörmatematikern Marin Mersenne.

Ett Mersenneprimtal är ett Mersennetal som är ett primtal.

Om Mersenneprimtal[redigera | redigera wikitext]

Det är okänt huruvida det existerar ett oändligt antal Mersenneprimtal. Hittills har 48 Mersenneprimtal hittats. De största av dessa är också de största kända primtalen, med flera miljoner siffror. Anledningen till att så stora Mersenneprimtal kunnat bestämmas är att det finns en särskilt effektiv algoritm för att avgöra om tal på den här formen är prima, nämligen Lucas-Lehmers test. Det största kända Mersenneprimtalet är 257 885 161-1. Det upptäcktes den 25 januari 2013 av Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) och har 17 425 170 siffror.

De största kända primtalen är av mersennetyp, men långt ifrån alla mersennetal är primtal. Till exempel så ger exponenten 4 talet 15, (24 - 1 = 15), som är ett sammansatt tal. Detta förhållande gäller för samtliga jämna exponenter större än 2, eftersom exponenten då kan skrivas som 2j och mersennetalet faktoruppdelas enligt modellen 22j - 1 = (2j + 1)(2j - 1).

Resultatet kan generaliseras: Mersennetalet är ett primtal endast om exponenten är ett primtal. Ett nödvändigt men ej tillräckligt villkor för att ett mersennetal skall vara ett primtal är, att exponenten är ett primtal. Exempelvis är 211 - 1 = 2 047 inget primtal, ty 2 047 = 23·89.

Länge fanns en hypotes om att mersennetal med mersenneprimtal som exponent var primtal, vilket stämmer för 27 - 1, 231 - 1 och 2127 - 1. Eftersom 213 - 1 (8 191) är ett primtal borde enligt denna förmodan också 28191 - 1 (2 466-siffrigt!) vara det. Detta antagande visade sig vara falskt när man kunde undersöka talet med dator.

Flera liknande primtalshypoteser har sett dagens ljus, men samtliga har kunnat förpassas till papperskorgen. Det finns således ingen allmän tumregel eller "formel", med vilken man kan vaska fram mersenneprimtal.

Sökning efter Mersenneprimtal[redigera | redigera wikitext]

Vad är det då som gör mersenneprimtalen så speciella? Jo, en viktig anledning är att det trots allt är "relativt lätt" att avgöra om ett mersennetal är ett primtal eller inte.

Bortsett från några specialfall (de tal som slutar på 0, 5 eller är jämna, liksom de vars siffersumma är jämnt delbar med 3, kan t ex inte vara primtal) finns inga "enkla" sätt att avgöra om ett godtyckligt tal är ett primtal. Även om det i det allmänna fallet finns bättre metoder än att tillgripa testdivision med samtliga primtal upp till kvadratroten ur talet, så krävs ofta ett enormt räknearbete för att kontrollera primtalsegenskapen. Om detta mindre trevliga perspektiv skriver den amerikanske matematikern Leonard Eugene Dickson (1874-1954):

"För att avgöra huruvida ett tal med 15 eller 20 siffror är ett primtal eller ej, skulle all tid vara otillräcklig, hur mycket man än utnyttjade allt som redan är känt."

Även om Dicksons spådom fått stryka på foten i och med att vi med datorerna fått räkneredskap som man inte kunde drömma om för ett halvsekel sedan, kvarstår faktum att det, även med den kraftfullaste superdator till förfogande, i praktiken är ogörligt att primtalstesta tal bestående av tusentals siffror.

För mersennetal är läget annorlunda. På dessa kan man nämligen applicera ett speciellt kriterium, som den franske matematikern Édouard Lucas uppställde i slutet av 1800-talet:

Bilda talföljden l[0] = 4, l[i+1] = (l[i]2 - 2) MOD (2p - 1)
För p > 2 är 2p - 1 ett primtal om och endast om l[p-2] = 0, dvs om mersennetalet går jämnt upp i termen med ordningsnumret p-2.

Också denna metod kräver ett mycket stort räknearbete när vi har att göra med mersennetal som består av tiotusentals (och ännu fler) siffror, men i motsats till de algoritmer som måste användas i det allmänna fallet för att avgöra om ett tal är primtal eller inte, är den praktiskt utförbar.

Före datoråldern (dvs fram till början av 50-talet) kände man till 11 mersenneprimtal, av vilka det största var 2127 - 1 (39-siffrigt) och man visste inte om det existerade några fler primtal i denna familj.

Lista över mersenneprimtal[redigera | redigera wikitext]

# n Mn Antal siffror i Mn Upptäcktsdatum Upptäckare
1 2 3 1 Forntida Forntida
2 3 7 1 Forntida Forntida
3 5 31 2 Forntida Forntida
4 7 127 3 Forntida Forntida
5 13 8191 4 1456 Anonym
6 17 131071 6 1588 Cataldi
7 19 524287 6 1588 Cataldi
8 31 2147483647 10 1772 Euler
9 61 2305843009213693951 19 1883 Pervushin
10 89 618970019…449562111 27 1911 Powers
11 107 162259276…010288127 33 1914 Powers
12 127 170141183…884105727 39 1876 Lucas
13 521 686479766…115057151 157 30 januari 1952 Robinson
14 607 531137992…031728127 183 30 januari 1952 Robinson
15 1 279 104079321…168729087 386 25 juni 1952 Robinson
16 2 203 147597991…697771007 664 7 oktober 1952 Robinson
17 2 281 446087557…132836351 687 9 oktober 1952 Robinson
18 3 217 259117086…909315071 969 8 september 1957 Riesel
19 4 253 190797007…350484991 1 281 3 november 1961 Hurwitz
20 4 423 285542542…608580607 1 332 3 november 1961 Hurwitz
21 9 689 478220278…225754111 2 917 11 maj 1963 Gillies
22 9 941 346088282…789463551 2 993 16 maj 1963 Gillies
23 11 213 281411201…696392191 3 376 2 juni 1963 Gillies
24 19 937 431542479…968041471 6 002 4 mars 1971 Tuckerman
25 21 701 448679166…511882751 6 533 30 oktober 1978 Noll & Nickel
26 23 209 402874115…779264511 6 987 9 februari 1979 Noll
27 44 497 854509824…011228671 13 395 8 april 1979 Nelson & Slowinski
28 86 243 536927995…433438207 25 962 25 september 1982 Slowinski
29 110 503 521928313…465515007 33 265 28 januari 1988 Colquitt & Welsh
30 132 049 512740276…730061311 39 751 20 september 1983 Slowinski
31 216 091 746093103…815528447 65 050 6 september 1985 Slowinski
32 756 839 174135906…544677887 227 832 19 februari 1992 Slowinski & Gage on Harwell Lab Cray-2 [1]
33 859 433 129498125…500142591 258 716 10 januari 1994 Slowinski & Gage
34 1 257 787 412245773…089366527 378 632 3 september 1996 Slowinski & Gage
35 1 398 269 814717564…451315711 420 921 13 november 1996 GIMPS / Joel Armengaud
36 2 976 221 623340076…729201151 895 932 24 augusti 1997 GIMPS / Gordon Spence
37 3 021 377 127411683…024694271 909 526 27 januari 1998 GIMPS / Roland Clarkson
38 6 972 593 437075744…924193791 2 098 960 1 juni 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala
39 13 466 917 924947738…256259071 4 053 946 14 november 2001 GIMPS / Michael Cameron
40 20 996 011 125976895…855682047 6 320 430 17 november 2003 GIMPS / Michael Shafer [2]
41 24 036 583 299410429…733969407 7 235 733 15 maj 2004 GIMPS / Josh Findley [3]
42 25 964 951 122164630…577077247 7 816 230 18 februari 2005 GIMPS / Martin Nowak [4]
43 30 402 457 315416475…652943871 9 152 052 15 december 2005 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [5]
44* 32 582 657 124575026…053967871 9 808 358 4 september 2006 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [6]
45* 37 156 667 202254406…308220927 11 185 272 6 september 2008 GIMPS / Hans-Michael Elvenich [7]
46* 42 643 801 169873516…562314751 12 837 064 12 april 2009 GIMPS / Odd Magnar Strindmo [8]
47* 43 112 609 316470269…697152511 12 978 189 23 augusti 2008 GIMPS / Edson Smith [7]
48* 57 885 161 581887266…724285951 17 425 170 25 januari 2013 GIMPS / Curtis Cooper [9]

* Det är inte känt om det finns några oupptäckta Mersenneprimtal mellan det 43:e (M30 402 457) och det 48:e (M57 885 161) i den här tabellen, så därför finns risk att ordningsnumren på de sista talen inte stämmer.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Tal 32 (engelska)
  2. ^ Tal 40 (engelska)
  3. ^ Tal 41 (engelska)
  4. ^ Tal 42 (engelska)
  5. ^ Tal 43 (engelska)
  6. ^ Tal 44* (engelska)
  7. ^ [a b] Tal 45* och 47* (engelska) Tal 47* var/kallades tal 46* vid upptäckten.
  8. ^ Tal 46* (engelska)
  9. ^ Tal 48* (engelska)

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.