Mertensfunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Mertensfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion definierad enligt:

M(n) = \sum_{k=1}^n \mu(k)

där μ(n) är möbiusfunktionen.

Eftersom möbiusfunktionen bara antar värden -1, 0 och 1 kan M(n) aldrig vara större än n

Representationer[redigera | redigera wikitext]

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Genom att använda Eulerprodukten får man

 \frac{1}{\zeta(s) }= \prod_{p} (1-p^{-s})= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}

där \zeta(s) är Riemanns zetafunktion och produkten är över alla primtal. Sedan får man med Perrons formel

 \frac{1}{2\pi i}\oint_{C} \frac{x^{s}}{s\zeta(s)} \, ds = M(x)

där C är en sluten kurva som går runt alla rötter av \zeta(s).

Som ett korollarium får man Mellintransformationen

\frac{1}{\zeta(s)} = s\int_1^\infty \frac{M(x)}{x^{s+1}}\,dx

som gäller för  \mathrm{Re}(s)>1.

Som en summa över Fareyfraktioner[redigera | redigera wikitext]

En annan formel för Mertensfunktionen är

M(n)= \sum_{a\in \mathcal{F}_n} e^{2\pi i a}   där    \mathcal{F}_n   är Fareyföljden av ordning n.

Denna formel används i beviset av Franel–Landaus sats.

Relation till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]

Mertens gav en relation mellan Mertensfunktionen och Tjebysjovs andra funktion:

 \psi (x) = M\left( \frac{x}{2} \right) \log(2)+M \left( \frac{x}{3} \right) \log(3) + M \left( \frac{x}{4}\right )\log(4) + \cdots.

Se även[redigera | redigera wikitext]