Minkowskis olikhet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Minkowskis olikhet (efter Hermann Minkowski) är inom funktionalanalys en olikhet som säger att Lp-rummen är normerade rum, mer specifikt säger olikheten att om f och g är element i ett Lp-rum, med  1 \leq p \leq \infty så är

\| f + g \|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p

med likhet om och endast om f och g är positiva multiplar av varandra, dvs  f = \lambda g för något  \lambda \geq 0 .

Utskrivet innebär detta alltså:

\left( \int |f+g|^p d \mu \right)^{\frac{1}{p}} \leq \left( \int |f|^p d \mu \right)^{\frac{1}{p}} +\left( \int |g|^p d \mu \right)^{\frac{1}{p}}

Olikheten gäller även för serier:

 \left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}}
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.