Minsta gemensamma multipel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Minsta gemensamma multipel (MGM) är ett begrepp inom talteori och aritmetik.

En multipel till ett tal a är talet multiplicerat med något positivt heltal; till exempel så har vi följande multiplar till 5:

5, 10, 15, 20, 25.

En gemensam multipel till två heltal är ett tal som är en multipel av vart och ett av talen.

Multiplar av 6: 6,12,18,24,30,36,42,48,54...

Multiplar av 8: 8,16,24,32,40,48,56...

Gemensamma multiplar av 6 och 8: 24,48,...

Den minsta gemensamma multipeln till 6 och 8 är således 24.

Tillämpning vid bråkberäkning[redigera | redigera wikitext]

Begreppet används till exempel om en summa eller differens av två bråk ska beräknas. Den minsta gemensamma multipeln av nämnarna är den nämnare, man kommer att få ut i ett första svar (som sedan kanske kan förkortas...)

Till exempel:

Uppgift
Beräkna \frac{1}{8}+\frac{5}{6}
Lösning
  1. den minsta gemensamma multipeln av 6 och 8 är 24
  2. förläng båda bråken så att man får nämnaren 24 (som beräknat ovan): det första bråket måste då förlängas med 3, och det andra med 4. Uppgiften är nu i läget \frac{1}{8}+\frac{5}{6} = \frac{3}{24} + \frac{20}{24}
  3. Talen har nu samma nämnare, alltså är summan \frac{23}{24}.

I praktiken kallas just denna tillämpning på bråktal av "minsta gemensamma multipler" för minsta gemensamma nämnare

Beräkningsmetod[redigera | redigera wikitext]

Här följer ett exempel på hur minsta gemensamma multipel kan bestämmas för de båda talen 48 och 180. Talen primtalsfaktoriseras enligt:

48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3
180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Ett Venndiagram ritas där vart och ett av talens faktorer utgör en mängd. I mängdernas snitt återfinnes de faktorer som de båda talen delar, nämligen två tvåor och en trea:

Least common multiple.svg

Minsta gemensamma multipel beräknas genom att multiplicera alla talen i Venndiagramet:

Minsta gemensamma multipel = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 720

Metoden kan även användas för att bestämma största gemensamma delare, som är produkten av elementen i Venndiagrammets snitt:

Största gemensamma delare = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.