Monoid

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Monoid (matematik))
Hoppa till: navigering, sök

En monoid är inom abstrakt algebra ett par (M,*) (ofta säger man bara  M och menar hela monoiden), där M är en mängd och * är en binär operatorM, vilken lyder följande regler:

  • slutenhet: för alla a, b i M, är a*b i M (detta följer egentligen direkt ur att * är en binär operator, och behöver inte specificeras separat)
  • neutralt element: det finns ett element e i M, så att för alla a i M, a*e = e*a = a.
  • associativitet: * är en associativ operator; det vill säga, (a*b)*c = a*(b*c) för alla a, b, c i M.

Med andra ord är en monoid en semigrupp med ett neutralt element.

En kommutativ monoid eller abelsk monoid är en monoid där operatorn även är kommutativ, dvs.:

  • a*b = b*a för alla a,b i  M .

 (D,*) sägs vara en submonoid till en monoid  (M,*) om  D är en delmängd till  M ,  D innehåller det neutrala elementet och för alla  a, b i  K så ligger även  a*b i  K . (D, *) är då även monoid i sig själv.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Naturliga talen[redigera | redigera wikitext]

De naturliga talen, \mathbb{N}, med additionsoperatorn  + bildar en abelsk monoid (\mathbb{N}, +) med det neutrala elementet 0.

Man kan också bilda en monoid med multiplikationsoperatorn (\mathbb{N}, *), som även den är abelsk, med det neutrala elementet 1.

Strängar[redigera | redigera wikitext]

Mängden av alla ändliga strängar över ett alfabet bildar en monoid med konkatenering som operator och den tomma strängen som neutralt element.

Monoidhomomorfier[redigera | redigera wikitext]

En homomorfi mellan två monoider, (M, *)\, och (N, \cdot ), är en funktion f:M \to N som uppfyller:

  • f(x*y) = f(x) \cdot f(y)
  • f(e) = e'\,

där e och e' är neutrala element för (M, *)\, respektive (N, \cdot ).

Om en monoidhomomorfi är bijektiv kallas den för isomorfi, och två monoider som har en monoidisomorfi mellan sig kallas isomorfa.

Se även[redigera | redigera wikitext]