Moore-Penrose pseudoinvers

Moore-Penrose pseudoinvers är inom linjär algebra en generalisering av vissa egenskaper hos matrisinversen för icke-kvadratiska matriser, uppkallad efter Eliakim Hastings Moore och Roger Penrose, som beskrev den oberoende av varandra 1920 respektive 1955.

Definition

Moore-Penrose pseudoinvers till en matris $A$ är en matris $A^+$ som uppfyller:

1. $A A^+A = A$       ($A A^+$ behöver inte vara en enhetsmatris, men ska avbilda alla kolonnvektorer i $A$ på sig själva);
2. $A^+A A^+ = A^+$       ($A^+$ is är en svag invers för den multiplikativa semigruppen);
3. $(AA^+)^* = AA^+$       ($AA^+$ är en hermitesk matris)
4. $(A^+A)^* = A^+A$       ($A^+A$ är också hermitesk).

$A^*$ är det hermiteska konjugatet till $A$. För reella matriser är detta samma sak som transponatet.

Egenskaper

Givet en matris $A$ med Moore-Penrose pseudoinvers $A^+$, gäller följande:

• $A^+$ är unik.
• Om $A$ är en inverterbar matris, är $A^{-1} = A^+$.
• $A^+$ är sin egen invers, $(A^+)^+ = A$.
• $AA^+$ är en ortogonal projektion på $A$s värderum.
• $A^+A$ är en ortogonal projektion på $A^*$s värderum.
• Pseudoinversen till en nollmatris är dess transponat.

Specialfall

Ortonormala rader och kolonner

Om $A$ har ortonormala kolonnvektorer ($AA^* = I$) eller ortonormala radvektorer ($A^*A = I$ så är $A^+ = A^*$.

Linjärt oberoende kolonner och rader

Om kolonnerna i $A$ är linjärt oberoende är $A^*A$ inverterbar och Moore-Penrose pseudoinvers kan beräknas med:

$A^+ = (A^*A)^{-1}A^*$.

Det följer då att $A^+$ är vänsterinvers till $A$.

Om raderna i $A$ är linjärt oberoende är $AA^*$ inverterbar och Moore-Penrose pseudoinvers kan beräknas med:

$A^+ = A^*(AA^*)^{-1}$.

Det följer då att $A^+$ är högerinvers till $A$.

Beräkning

Singulärvärdesfaktorisering

Om matrisen $A$ har singulärvärdesfaktoriseringen $A = U \Sigma V^*$ så fås $A^+ = V \Sigma^+ U^*$. Pseudoinversen av $\Sigma$, som är en "nästan diagonal" matris med matrisens singulärvärden i diagonalen, genom att ersätta varje element $\sigma_i$ i diagonalen med $\frac{1}{\sigma_i}$. Exempel:

$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \sigma_3 & 0 \end{pmatrix} ~~ \Sigma^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sigma_1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sigma_2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{\sigma_3} & 0 \end{pmatrix}$

Tillämpningar

Moore-Penrose pseudoinvers ger en minsta kvadrat-lösning till system av linjära ekvationer. Om systemet ges av $Ax = b$ ges minsta kvadrat-lösningen av $x = A^+b$.