Multinomialsatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Multinomialsatsen är, inom matematik, en generalisering av binomialsatsen och är en framställning av ett multinom (a_1+\cdots+a_m)^n som en summa av potenser i talen a_1,\dots,a_m.

Satsens lydelse[redigera | redigera wikitext]

Låt a_1,a_2,\dots,a_m vara godtyckliga reella eller komplexa tal och n ett godtyckligt naturligt tal. Då kan potensen (a_1+a_2+\cdots+a_m)^n framställas som följande summa:

(a_1+a_2+\cdots+a_m)^n = \sum_{k_1+\cdots+k_m=n} \,
\binom{n}{k_1,\dots,k_m} \, a_1^{k_1}\cdots a_m^{k_m}.

Summasymbolen \sum_{k_1+\cdots+k_m=n} indikerar att man skall summera över alla multipler (k_1,\dots,k_m) av naturliga tal sådana att deras summa k_1 + \cdots + k_m = n. Symbolen

\binom{n}{k_1,\dots,k_m} = \frac{n!}{k_1!\cdots k_m!}

där n! = 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n (se fakultet), kallas multinomialkoefficient och är en generalisering av binomialkoefficienten \binom{n}{k}.

Exempel: Trinom[redigera | redigera wikitext]

Trinomet (a_1+a_2+a_3)^2 kan beräknas direkt genom utveckling av kvadraten eller genom användning av multinomialsatsen.

Multinomialsatsen kräver tripler (k_1,k_2,k_3) där komponenterna k_1,k_2 och k_3 är heltal i mängden \{0,1,2\} sådana att deras summa är k_1
+ k_2 + k_3 = 2. De möjliga triplerna är (1,1,0),\;(1,0,1),\;(0,1,1),\;(0,0,2),\;(0,2,0) och (2,0,0).

Det kan noteras att problemet att bestämma de möjliga triplerna är identiskt med problemet att finna antalet sätt att skriva talet 2 som en summa av tre naturliga tal. Den generella multinomialsatsen kräver en lösning till problemet att bestämma antalet sätt som det naturliga talet n kan skrivas som en summa av m naturliga tal.

Multinomialkoefficienterna associerade med de olika triplerna ovan är

\binom{2}{1,1,0} = \frac{2!}{1!1!0!} = 2 = \binom{2}{1,0,1}
= \binom{2}{0,1,1}

och

\binom{2}{0,0,2} = \frac{2!}{0!0!2!} = 1 = \binom{2}{0,2,0}
= \binom{2}{2,0,0}.

Multinomialsatsen ger oss potensen (a_1+a_2+a_3)^2 som summan

\binom{2}{2,0,0}a_1^2 \, a_2^0 \, a_3^0 +
\binom{2}{0,2,0}a_1^0 \, a_2^2 \, a_3^0 + \binom{2}{0,0,2}a_1^0 \,
a_2^0 \, a_3^2 + \binom{2}{1,1,0}a_1^1a_ 2^1a_3^0+
+\binom{2}{1,0,1}a_1^1 \, a_2^0 \, a_3^1 + \binom{2}{0,1,1}a_1^0 \,
a_2^1 \, a_3^1,

vilket, med de beräknade multinomialkoefficienterna, är

a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + 2 \, a_1 \, a_2 + 2 \, a_1 \, a_3 +
2 \, a_2 \, a_3.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.