Multinomialsatsen

Multinomialsatsen är, inom matematik, en generalisering av binomialsatsen och är en framställning av ett multinom $(a_1+\cdots+a_m)^n$ som en summa av potenser i talen $a_1,\dots,a_m$.

Satsens lydelse

Låt $a_1,a_2,\dots,a_m$ vara godtyckliga reella eller komplexa tal och $n$ ett godtyckligt naturligt tal. Då kan potensen $(a_1+a_2+\cdots+a_m)^n$ framställas som följande summa:

$(a_1+a_2+\cdots+a_m)^n = \sum_{k_1+\cdots+k_m=n} \, \binom{n}{k_1,\dots,k_m} \, a_1^{k_1}\cdots a_m^{k_m}.$

Summasymbolen $\sum_{k_1+\cdots+k_m=n}$ indikerar att man skall summera över alla multipler $(k_1,\dots,k_m)$ av naturliga tal sådana att deras summa $k_1 + \cdots + k_m = n.$ Symbolen

$\binom{n}{k_1,\dots,k_m} = \frac{n!}{k_1!\cdots k_m!}$

kallas multinomialkoefficient och är en generalisering av binomialkoefficienten $\binom{n}{k}$.

Exempel: Trinom

Trinomet $(a_1+a_2+a_3)^2$ kan beräknas direkt genom utveckling av kvadraten eller genom att använda multinomialsatsen.

Multinomialsatsen kräver att vi studerar tripler $(k_1,k_2,k_3)$ där komponenterna $k_1$,$k_2$ och $k_3$ är heltal i mängden $\{0,1,2\}$ sådana att deras summa är $k_1 + k_2 + k_3 = 2.$ De möjliga triplerna är $(1,1,0),\;(1,0,1),\;(0,1,1),\;(0,0,2),\;(0,2,0)$ och $(2,0,0)$.

Vi kan notera att problemet att bestämma de möjliga triplerna är identiskt med problemet att finna antalet sätt som man kan skriva talet 2 som en summa av tre naturliga tal. Den generella multinomialsatsen kräver att vi studerar problemet att bestämma antalet sätt som man kan skriva det naturliga talet $n$ som en summa av $m$ stycken naturliga tal.

Multinomialkoefficienterna associerade med de olika triplerna ovan är:

$\binom{2}{1,1,0} = \frac{2!}{1!1!0!} = 2 = \binom{2}{1,0,1} = \binom{2}{0,1,1}$

och

$\binom{2}{0,0,2} = \frac{2!}{0!0!2!} = 1 = \binom{2}{0,2,0} = \binom{2}{2,0,0}.$

Multinomialsatsen ger oss potensen $(a_1+a_2+a_3)^2$ som summan:

$\binom{2}{2,0,0}a_1^2 \, a_2^0 \, a_3^0 + \binom{2}{0,2,0}a_1^0 \, a_2^2 \, a_3^0 + \binom{2}{0,0,2}a_1^0 \, a_2^0 \, a_3^2 + \binom{2}{1,1,0}a_1^1 \, a_2^1 \, a_3^0 + \binom{2}{1,0,1}a_1^1 \, a_2^0 \, a_3^1 + \binom{2}{0,1,1}a_1^0 \, a_2^1 \, a_3^1,$

vilket, med de beräknade multinomialkoefficienterna, är

$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + 2 \, a_1 \, a_2 + 2 \, a_1 \, a_3 + 2 \, a_2 \, a_3.$

Storleken hos $n!$: Stirlings formel

Symbolen $n!$ kan uppfattas som antalet sätt att ordna $n$ stycken objekt i en rad. Detta antal blir snabbt mycket stort:

Man kan ordna tio objekt i en rad på 3 628 800 olika sätt och $20$ objekt i en rad på 2 432 902 008 176 640 000 olika sätt.

Det finns ett resultat som kallas Stirlings formel som ger information om hur snabbt talet $n!$ växer med heltalet $n$:

$\frac{1}{n!} \, \sqrt{2\pi} \, n^{n+1/2} \, e^{-n} \longrightarrow 1, \qquad n \to \infty.$

För stora värden på $n$ (Hur stora? är en intressant fråga) är $n!$ ungefär lika stort som talet $n^n$. Vi ser att $n=10$ inte är tillräckligt stort, eftersom talet $10!$ är av storleksordningen $10^7$, men att redan $n=20$ närmar sig eftersom talet 20! är av storleksordningen $10^{19}$.