Multiperfekt tal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är ett multiperfekt tal (även kallat plusperfekt tal) en generalisering av perfekta tal.

För ett givet naturligt tal k, så kallas ett tal n för ett k-perfekt tal om och endast om summan av alla positiva delare av n, sigmafunktionen, σ(n), är lika med kn; ett tal är således perfekt om och endast om det är 2-perfekt. Ett tal som är k-perfekt för ett k kallas för ett multiperfekt tal. I juli 2004 var k-perfekta tal kända för varje värde på k upp till 11.

Det går att bevisa att:

  • För ett givet primtal p, om n är p-perfekt och p inte delar n så är pn (p + 1)-perfekt. Det innebär att ett heltal n är ett 3-perfekt tal delbart med 2 men inte med 4 om och endast om n/2 är ett udda perfekt tal, av vilka inga är kända.
  • Om 3n är 4k-perfekt och 3 inte delar n så är det 3k-perfekt tal.

Minsta k-perfekta talen[redigera | redigera wikitext]

Följande tabell ger en översikt av de minsta k-perfekta talen för k <= 7 (inklusive dess upptäckt): (talföljd A007539 i OEIS)

k Minsta k-perfekta tal Upptäckt
1 1 Forntiden
2 6 Forntiden
3 120 Forntiden
4 30240 René Descartes (cirka 1638)
5 14182439040 René Descartes (cirka 1638)
6 154345556085770649600 Robert Daniel Carmichael (1907)
7 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 TE Mason (1911)
8 2,34111439263306338... *10^161 Paul Poulet (1929)[1]

Till exempel är 120 3-perfekt eftersom delarsumman av 120 är:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 × 120.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Antalet multiperfekta tal lägre än X är o(X^{\epsilon}) för alla positiva ε.[2]

Specifika värden av k[redigera | redigera wikitext]

Perfekta tal[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Perfekt tal

Ett tal n med σ(n) = 2n är perfekt.

Triperfekta tal[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Triperfekt tal

Ett tal n med σ(n) = 3n är triperfekt. Ett udda triperfekt tal måste överstiga 1070, ha minst 12 olika primtalsfaktorer, där den största överstiger 105.[3]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Multiply perfect number, 11 november 2013.
  1. ^ Flammenkamp
  2. ^ Sándor et al (2006) p.105
  3. ^ Sandor et al (2006) pp.108-109

Bokkällor[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]