Newtons metod

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Newtons metod, eller Newton–Raphsons metod (efter Isaac Newton och Joseph Raphson) är en numerisk metod för att approximera nollställen till en funktion. Man använder alltså en numerisk metod för att hitta en rot till en ekvation, vilken går ut på att man väljer en punkt på kurvan som man räknar ut tangenten för. X-värdet man får för tangentens skärning med x-axeln räknar man sedan ut tangenten för (på kurvan) och itererar denna process till dess önskad noggrannhet uppnåtts.

Tangenten till en funktion f(x) i punkten x_0 har enligt enpunktsformeln ekvationen

y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).

Den skär x-axeln då y = 0, dvs:


\begin{align}
0 & = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \\
x - x_0 & = -\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \\
x & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.
\end{align}

Iterationsformeln blir alltså

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Beskrivning[redigera | redigera wikitext]

Funktionen ƒ visas i blått och tangenten till funktionen visas som en tunn mörkröd linje. Vi ser att xn+1 är en bättre approximation än xn till nollstället för f(x).

Idén är att steg för steg beräkna bättre och bättre approximationer till en rot till en ekvation f(x) = 0. Vi börjar med en approximation x_0. Tangenten tillhörande funktionen f i punkten (x_0,f(x_0)) skär x-axeln i en punkt (förutsatt att f'(x)\ne 0) som betecknas x_1. Man bestämmer denna punkt genom formeln

x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)},

där f'(x_0) är värdet av derivatan till f i x_0, och så itererar man förloppet med x_1\; som startpunkt, och så vidare. Den allmänna formeln blir då

x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Talföljden x_0, x_1, x_2, \dots konvergerar mot en rot r förutsatt att x_0 är tillräckligt nära den rot som ska approximeras.

Blir derivatans värden svårberäknade kan man approximera dem med formeln:

f'(x_n)=\frac{f(x_n + h)-f(x_n)}{h}
 \lim_{h \,\to \ 0} \frac{f(x_n + h)-f(x_n)}{h},

eller mer exakt approximation med

f'(x_n)=\frac{f(x_n + h)-f(x_n - h)}{2h}
 \lim_{h \,\to \ 0} \frac{f(x_n + h)-f(x_n - h)}{2h}.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Kvadratroten ur ett tal

Hur hittar man kvadratroten ur ett tal?. Det finns åtskilliga metoder för att hitta rötter och Newton Raphsons metod är en.

T.ex. om man önskar hitta kvadratroten ur 1395, så är det ekvivalent med att:

\,x^2 = 1395

Funktionen i Newton Raphsons metod blir då,

\,f(x) = x^2 - 1395

med derivatan,

 f'(x) = 2x. \,

Med en inledande gissning 12, så blir ordningsföljden enligt Newton Raphsons metod:

\begin{matrix}
  x_1 & = & x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)} & = & 12 - \dfrac{12^2 - 1395}{2 \cdot 12} & = & 64.125 \quad\quad\quad{} \\
  x_2 & = & x_1 - \dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)} & = & 64.125 - \dfrac{64.125^2 - 1395}{2 \cdot 64.125} & = & 42.93969298 \\
  x_3 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{37}.71355835 \\
  x_4 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{37.3}5145405 \\
  x_5 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{37.349698}84 \\
  x_6 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{37.34969879}
\end{matrix}

Dvs

\sqrt{1395}= \underline{37,34969879}

Där de korrekta siffrorna är understrukna. Vi ser här att bara med några få iterationer så får vi fram en lösning som stämmer överens på många decimaler.

Väljer vi att x_0\; \to\; 0 i samma funktion som i exemplet ovan


x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)} \Leftrightarrow x_1=0-\dfrac{0^2 - 1395}{2 \cdot 0}\; \to\; \infty Som vi ser så går funktion mot oändligheten då x går mot noll.

Väljer vi att x_0\; \to\ \infty

x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)} \Leftrightarrow x_1=x_0-\dfrac{x_0^2 - 1395}{2 \cdot x_0} \Leftrightarrow x_1= \dfrac{2x_0^2-x_0^2 + 1395}{2x_0} \Leftrightarrow x_1= \dfrac{\not x_0 \cdot(x_0 + \dfrac{1395}{x_0})}{\not x_0 \cdot 2} \Leftrightarrow x_1= \dfrac{ (x_0 + \dfrac{1395}{x_0})}{2} \; \to\; \infty\;

Här ser vi att funktionen \to\; \infty för både noll och x. Detta implicerar då att Newton-Raphsons metod endast fungerar om den inledande gissningen är större än noll dvs x\;>0 och mindre än oändligheten dvs x< \infty Så vårt intervall I=[a\;b] borde då vara I=]0\; \infty[

Historia[redigera | redigera wikitext]

Redan på Babylons tid så visste man hur man approximerade rötter. Men det var Newton och Raphson som använde sig av analys för att generalisera denna urgamla metod för att hitta rötterna till en godtycklig ekvation. Newtons metod publicerades först år 1685 i boken A Treatise of Algebra both Historical and Practical av John Wallis. 5 år senare publicerade Joseph Raphson en förenklad version i avhandlingen Analysis aequationum universalis. Där Raphson visade att det är algebraisk metod som är begränsad till polynom. Newtons metod har också beskrivits av Isaac Newton år 1669 i sin bok De analysi per aequationes numero terminorum infinitas(som publicerades 1711 av William Jones) och i De metodis fluxionum et serierum infinitarum(författad 1671, översatt och publicerad som Method of Fluxions år 1736 av John Colson). Men det ska nämnas att den beskrivning som Newton gav i de ovannämnda böckerna skiljer sig mycket från den beskrivning som har angivits ovan.

Referenser[redigera | redigera wikitext]