Newtons metod

Newtons metod, eller Newton-Raphsons metod (efter Isaac Newton och Joseph Raphson) är en av de numeriska metoder som man får fram bättre approximationer till rötterna av en funktion där rötterna $r\in\mathbb{R}$. Man använder alltså en numerisk metod för att hitta en rot till en ekvation, vilken går ut på att man väljer en punkt på kurvan som man räknar ut tangenten för. X-värdet man får för tangentens skärning med x-axeln räknar man sedan ut tangenten för (på kurvan) och itererar denna process till dess önskad noggrannhet uppnåtts.

Tangenten till en funktion $f(x)$ i punkten $x_0$ har enligt enpunktsformeln ekvationen
$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\$
Den skär x-axeln då y = 0, dvs:
$\begin{align} 0 & = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \\ x - x_0 & = -\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \\ x & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \\ \end{align}$
Iterationsformeln blir alltså
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Beskrivning

Konceptet är att genom steg för steg approximera närmevärden till rötterna av en funktion $f(x) = 0\;$. Vi börjar med en approximation till $x_0\;$ av den rot som ligger på intervallet $I =[a\; b]$ där $[a\; b]\in\mathbb{R}$. Tangenten tillhörande funktionen f i punkten $x_0,\; f(x_0)$ skär x-axeln i en punkt som betecknas $x_1\;$. Man bestämmer denna punkt genom formeln:

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}$

där $f^\prime(x_0)$ är värdet av derivatan till f i $x_0\;$ och så iterar man förloppet med $x_1\;$ som startpunkt, och så här fortsätter man. Den allmänna formeln blir då:

$x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}$

Talföljden

$x_0, \quad x_1, \quad x_2,...$

konvergerar mot en rot r, där $r\in\mathbb{R}$, under villkoret att startvärdet $x_0\;$ finns på intervallet $I\;$ (eller så kan man uttrycka det så att roten ska väljas så att den är tillräckligt nära den rot vi vill ha fram).

Blir derivatans värden svårberäknade kan man approximera dem med formeln:

$f^\prime(x_n)=\frac{f(x_n + h)-f(x_n)}{h}$

$\lim_{h \,\to \ 0} \frac{f(x_n + h)-f(x_n)}{h}$

eller mer exakt approximation med

$f^\prime(x_n)=\frac{f(x_n + h)-f(x_n - h)}{2h}$

$\lim_{h \,\to \ 0} \frac{f(x_n + h)-f(x_n - h)}{2h}$

Exempel

Kvadratroten ur ett tal

Hur hittar man kvadratroten ur ett tal?. Det finns åtskilliga metoder för att hitta rötter och Newton Raphsons metod är en.

T.ex. om man önskar hitta kvadratroten ur 1395, så är det ekvivalent med att:

$\,x^2 = 1395$

Funktionen i Newton Raphsons metod blir då,

$\,f(x) = x^2 - 1395$

med derivatan,

$f'(x) = 2x. \,$

Med en inledande gissning 12, så blir ordningsföljden enligt Newton Raphsons metod:

$\begin{matrix} x_1 & = & x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)} & = & 12 - \dfrac{12^2 - 1395}{2 \cdot 12} & = & 64.125 \quad\quad\quad{} \\ x_2 & = & x_1 - \dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)} & = & 64.125 - \dfrac{64.125^2 - 1395}{2 \cdot 64.125} & = & 42.93969298 \\ x_3 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{37}.71355835 \\ x_4 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{37.3}5145405 \\ x_5 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{37.349698}84 \\ x_6 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{37.34969879} \end{matrix}$

Dvs

$\sqrt{1395}= \underline{37,34969879}$

Där de korrekta siffrorna är understrukna. Vi ser här att bara med några få iterationer så får vi fram en lösning som stämmer överens på många decimaler.

Väljer vi att $x_0\; \to\; 0$ i samma funktion som i exemplet ovan

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)} \Leftrightarrow x_1=0-\dfrac{0^2 - 1395}{2 \cdot 0}\; \to\; \infty$ Som vi ser så går funktion mot oändligheten då x går mot noll.

Väljer vi att $x_0\; \to\ \infty$

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)} \Leftrightarrow x_1=x_0-\dfrac{x_0^2 - 1395}{2 \cdot x_0} \Leftrightarrow x_1= \dfrac{2x_0^2-x_0^2 + 1395}{2x_0} \Leftrightarrow x_1= \dfrac{\not x_0 \cdot(x_0 + \dfrac{1395}{x_0})}{\not x_0 \cdot 2} \Leftrightarrow x_1= \dfrac{ (x_0 + \dfrac{1395}{x_0})}{2} \; \to\; \infty\;$

Här ser vi att funktionen $\to\; \infty$ för både noll och x. Detta implicerar då att Newton-Raphsons metod endast fungerar om den inledande gissningen är större än noll dvs $x\;>0$ och mindre än oändligheten dvs $x< \infty$ Så vårt intervall $I=[a\;b]$ borde då vara $I=]0\; \infty[$

Historia

Redan på Babylons tid så visste man hur man approximerade rötter. Men det var Newton och Raphson som använde sig av analys för att generalisera denna urgamla metod för att hitta rötterna till en godtycklig ekvation. Newtons metod publicerades först år 1685 i boken A Treatise of Algebra both Historical and Practical av John Wallis. 5 år senare publicerade Joseph Raphson en förenklad version i avhandlingen Analysis aequationum universalis. Där Raphson visade att det är algebraisk metod som är begränsad till polynom. Newtons metod har också beskrivits av Isaac Newton år 1669 i sin bok De analysi per aequationes numero terminorum infinitas(som publicerades 1711 av William Jones) och i De metodis fluxionum et serierum infinitarum(författad 1671, översatt och publicerad som Method of Fluxions år 1736 av John Colson). Men det ska nämnas är att den beskrivning som Newton gav i de ovannämnda böckerna skiljer sig mycket från den beskrivning som har angivits ovan.

Referenser

• Forsling & Neymark, Matematisk Analys En variabel, 228-229, ISBN 91-47-05188-4
• Författarna och Liber AB, Tabeller och formler för NV- och TE- Programmen femte upplagan, S 56, ISBN 978-91-47-01746-1
• Engelska wikipedias beskrivning av Newton Raphsons metod http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method