Algebra över en kropp

En algebra över en kropp är inom matematik en algebraisk struktur, mer specifikt ett vektorrum med en operation som liknar multiplikation.

Definition

En algebra $A$ över en kropp $K$ är ett vektorrum $A$ där det för varje par av element $x,y\in A$ finns en unik produkt $xy\in A$ med egenskaperna:

• $x(y+z)=xy+xz\,$
• $(x+y)z=xz+yz\,$
• $\alpha (xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)\,$

för $x,y,z\in A$ och $\alpha \in K$.

$A$ sägs vara en associativ algebra om

$x(yz)=(xy)z\,$

och en kommutativ algebra eller abelsk algebra om

$xy=yx\,$.

$A$ kallas för algebra med neutralt element om det finns ett $e\in A$ så att

$ex=xe=x\,$.

Om $A$ har ett neutralt element är det unikt. För om man antar att det finns två neutrala element, $e$ och $e'$, får man att

• $ee'=e$ eftersom $e'$ är ett neutralt element.
• $ee'=e'$ eftersom $e$ är ett neutralt element.

Alltså är $e=e'$.

Normerad algebra

En associativ algebra $A$ kallas för en normerad algebra om den är ett normerat rum som uppfyller

• $\|xy\|\leq \|x\|\|y\|$ för alla $x,y\in A$
• $\|e\|=1$ om $A$ har ett neutralt element $e$.

En normerad algebra kallas för Banachalgebra, uppkallad efter Stefan Banach, om den är fullständig betraktad som ett normerat rum.

Exempel

Tredimensionellt euklidiskt rum

Inre produktrummet $\mathbb {R} ^{3}$ med kryssprodukten införd är en algebra över kroppen av reella tal.

Matrisrum

Rummet av alla komplexa (eller reella) kvadratiska matriser med $n$ rader är en icke-kommutativ associativ algebra med enhetsmatrisen som neutralt element. Genom att införa en matrisnorm blir algebran en Banachalgebra.

Funktionsrum

Rummet $C[a,b]$ av alla kontinuerliga funktioner på intervallet $[a,b]$ är en Banachalgebra med operationen

$(xy)(t)=x(t)y(t)\,$ för alla $x(t),y(t)\in C[a,b]$

$C[a,b]$ har det neutrala elementet 1 och normen

$\|x\|=\max _{t\in [a,b]}x(t)$.

Externa länkar

• http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:310457/FULLTEXT01.pdf