Tal (matematik)

Matematiska begrepp
Tal Mängd Variabel Ekvation Funktion Operator Vektor Linjärt rum

Uppslagsordet Nummer leder hit. För tidskriften, se Nummer (tidskrift).

När man räknar använder man ofta siffror. Här ser du en sjua med 7 paprikor.

Tal är ett matematiskt grundbegrepp som används för att representera olika storheter, det vill säga sådant som går att mäta i bestämda måttenheter, till exempel antal, längd, vikt, volym, temperatur och tryck.

Ett tal är en abstrakt enhet som representerar ett antal eller ett mått. I matematik, är definitionen av tal vidare och inkluderar naturliga tal, heltal, negativa tal, rationella tal, irrationella tal, algebraiska tal, reella tal, imaginära tal, komplexa tal och transcendenta tal.

Typer av tal

Naturliga tal

Naturliga tal används för att räkna föremål, till exempel äpplen, så länge de är hela.

De naturliga talen är alla heltal som inte är negativa {0, 1, 2, 3, …} eller alla positiva heltal {1, 2, 3, 4 …}. Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (ett vanligt N i fetstil kan även användas). ℕ är diskret, uppräkneligt oändlig och har kardinalitet Alef-noll (ℵ₀).

De naturliga talen kan konstrueras med Peanos axiom, det är även möjligt att konstruera dem utifrån mängdlära:

Låt 0 = ∅ = {}, den tomma mängden.

Definiera, för varje mängd a, funktionen S(a) = a ∪ {a} som ger efterföljaren till a.

Om oändlighetsaxiomet gäller så existerar de naturliga talen och är snittet av alla mängder X som innehåller 0 och är slutna för S, dvs:

$a \in X \Rightarrow S(a) \in X.$

Denna mängd uppfyller Peanos axiom.

Ett naturligt tal kommer då vara mängden av alla tal som är mindre det:

• $0 = \{\}\,$
• $1 = \{0\} = \{ \{ \} \}\,$
• $2 = \{0,1\} = \{ \{ \}, \{ \{ \} \} \}\,$
• $n = \{0,1,2,...,n-1\} = \{0,1,2,..,n-2\} \cup \{n-1\} = (n-1) \cup \{n-1\}$

då mängden n kommer att ha n element och n är mindre än eller lika med m om och endast om n är en delmängd till m.

Heltal

Heltalen är unionen av mängden av de naturliga talen {0, 1, 2, 3, …} och mängden av de negativa heltalen {-1, -2, -3, …}.

Mängden av hela tal betecknas med den dubbelstrukna bokstaven ℤ (ibland fetstilta bokstaven Z), från det tyska ordet Zahlen (tal). Ibland definierar man delmängder av ℤ: ℤ⁺, ℤ^* och ℤ^–.

• ℤ⁺ är 1, 2, 3, 4, 5 ...
• ℤ^* är 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...
• ℤ^– är ... -5, -4, -3, -2, -1

Beroende på definition kan endera ℤ⁺ eller ℤ^* vara detsamma som mängden naturliga tal

Mängden av hela tal är uppräkneligt oändlig och har kardinaltalet Alef-noll. Den är också en delmängd av mängden av rationella tal som i sin tur är en delmängd av mängden av reella tal som är en delmängd av mängden komplexa tal.

Negativa tal

Negativa tal kallas inom matematiken sådana tal som är mindre än noll (0). De tal som är större än 0 kallas positiva tal. Talet 0 självt är varken negativt eller positivt. Mängden av alla negativa heltal betecknas ibland Z⁻. Unionen av Z⁻, {0} och Z⁺ är lika med mängden av alla heltal (Z), och {Z⁻, {0}, Z⁺} sägs vara en partition av Z.

Negativa tal skrivs oftast med ett minustecken framför, −3 är motsatsen till 3. Kombinerar man de negativa heltalen, nollan och de positiva heltalen så får man heltalen, som betecknas ℤ efter det tyska ordet zahl.

Rationella tal

Rationella tal är i matematiken tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:

$\frac{T}{N}$

I vardagligt språk kallas ett sådant tal för bråktal och heltalet T är bråkets täljare och heltalet N bråkets nämnare.

Tillsammans utgör de rationella talen en mängd som vanligtvis betecknas med bokstaven Q eller ℚ. Ett alternativt sätt att uppfatta denna mängd är som mängden bestående av alla lösningar (x) till ekvationer ax - b = 0, där b är ett heltal och a är ett heltal som inte är lika med talet noll.

Irrationella tal

Inom matematiken är ett irrationellt tal ett reellt tal som inte är ett rationellt tal, det vill säga att det kan inte skrivas som a/b, där a och b är heltal.

Det kan visas att de irrationella talen är de tal som på decimalform har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Ett irrationellt tal är antingen ett algebraiskt tal eller ett transcendent tal.

De irrationella talens kardinalitet är kontinuums mäktighet. Informellt uttryckt betyder det att nästan alla reella tal är irrationella.

Algebraiska tal

Inom matematiken är det komplexa talet $x$ algebraiskt om det är en lösning till en polynomekvation vars koefficienter är heltal:

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, \quad a_k \in \Z \quad k=1,\cdots,n.$

Exempelvis är $\sqrt{2} - 1$ ett algebraiskt tal då det är en lösning till polynomekvationen

$x^2 + 2x - 1 \,= 0$

• Alla rationella tal är algebraiska, men det finns reella tal som inte är algebraiska: förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter, det vill säga talet $\pi$, är inte ett algebraiskt tal.
• Om ett algebraiskt tal är lösningen till en ekvation av grad n, men inte till någon ekvation av lägre grad, sägs talet vara ett algebraiskt tal av grad n.
• De algebraiska talen bildar en uppräknelig mängd, till skillnad från de transcendenta talen, vilka är de reella tal som inte är algebraiska; det finns alltså ingen polynomekvation, vars koefficienter är heltal, som har ett transcendent tal som lösning.

Reella tal

De reella talen är de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen. Mängden av alla reella tal betecknas vanligen $\mathbb{R}$.

De reella talen skrivs ofta som avkortade decimalutvecklingar, det vill säga som approximationer, till exempel 3,3333..., 1,4142... där "..." indikerar att flera siffror följer för en mera precis bestämning av talet.

De naturliga talen (icke-negativa heltal, mängden $\mathbb{N}$) är en delmängd av de reella talen där decimaldelen är noll.

De rationella talen (bråktalen, mängden $\mathbb{Q}$) är en delmängd av de reella talen, där decimalföljden efter ett tag börjar följa ett periodiskt mönster. Till exempel är 1/3 = 0,333..., 1/11 = 0,09090909..., 2/7 = 0,285714285714.., 95/14 = 6,7857142857142... . De kan skrivas som ett bråk med heltal i täljare och nämnare. Reella tal som inte är rationella kallas irrationella tal.

Exempel på reella tal är 0, 1 (naturliga), 1/2 (rationellt), $\sqrt{2}$ (irrationellt, algebraiskt), $e$, $\pi$ (irrationella och transcendenta).

Imaginära tal

Ett imaginärt tal är ett tal vars kvadrat är ett negativt reellt tal. Termen myntades av René Descartes på sextonhundratalet och syftar till att man då menade att sådana tal inte kan existera.

Anledningen till att man införde begreppet är att det ofta finns behov av att räkna med en storhet som har två från varandra oberoende (ortogonala) egenskaper som kan representeras av ett komplext tal vilket består av en real del och en imaginär del. Med hjälp av komplexa tal kan man till exempel överföra förhållanden mellan strömstyrkor och spänningar i tidplanet till motsvarande fasskillnader.

Imaginära tal avbildas på det komplexa talplanets vertikala axel. Varje imaginärt tal kan skrivas som $\ ib$ där $\ b$ är ett reellt tal och $\ i$ betecknar den imaginära enheten med egenskapen $\ i^2 = -1$.

Varje komplext tal kan unikt skrivas som summan av ett reellt tal och ett imaginärt tal $\ a + ib$.

Komplexa tal

Det komplexa talplanet. Varje komplext tal representeras av en realdel (Re) och en imaginärdel (Im).

De komplexa talen kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

$z\ = a + b\,i$

där det reella talet a är realdelen, det reella talet b är imaginärdelen och i är den imaginära enheten som definieras av

$\ i^2\ = {-1}$

Om b ≠ 0 så är z ett icke reellt komplext tal (till exempel 2 + 4i), och om a = 0 kallas talet rent imaginärt (till exempel 4i).

Mängden av komplexa tal betecknas med ℂ eller C.

Transcendenta tal

Ett transcendent tal är ett (reellt) tal, som inte kan definieras som ett nollställe till ett ändligt polynom med rationella koefficienter. Vissa transcendenta tal kan i stället definieras som ett gränsvärde.

Kända exempel är e och pi.

Motsatsen är ett algebraiskt tal. Däri ingår till exempel alla rationella tal, liksom alla rötter av rationella tal.

Formell diskussion

Man kan definiera de så kallade naturliga talen 0, 1, 2, 3, … genom att först definiera talet noll (0) som den tomma mängden

$0 = \varnothing$

och därefter successivt definiera de andra naturliga talen på följande sätt:

• $1 = \{0\}\,$

  $2 = \{0,1\}\,$

  $3 = \{0,1,2\}\,$

  $\vdots\,$

Ett annat sätt att definiera de naturliga talen är att imitera de ryska så kallade matrjosjkadockorna, där det inuti varje docka finns en mindre docka. Till skillnad från den ryska matrjosjkadockan, innehåller den matematiska matrjosjkadockan oändligt många dockor:

• $0 = \varnothing\,$

  $1 = \{ \varnothing \}\,$

  $2 = \{ \{ \varnothing \} \}\,$

  $3 = \{ \{ \{ \varnothing \} \} \}\,$

  $\vdots\,$

Bakom de tre punkterna som utgör ellipsissymbolen (…) i uppräkningen av de naturliga talen 0, 1, 2, 3, … ligger den så kallade principen om matematisk induktion; I de två listorna ovan kan man se ett mönster i konstruktionerna av talen 0, 1, 2 och 3. Principen om matematisk induktion låter oss hävda att om vi fortsätter detta mönster i all oändlighet, så har vi lyckats konstruera de naturliga talen.

Informell diskussion

I meningen "Fem myror är fler än fyra elefanter." är det inte fråga om en jämförelse av storleken hos myror och elefanter, utan det är antalet element i 'Myrmängden' som är större än antalet element i 'Elefantmängden'. Här är man inte intresserad av att en elefant har mycket större kroppshydda än en myra, även om det kanske är just kroppshyddan som andra först tänker på när de jämför myror med elefanter.

På samma sätt är tusen enkronorsmynt fler än en tusenkronorssedel. Däremot är tusen enkronorsmynt värda lika mycket som en tusenkronorssedel. Här är det en fråga om två olika mått av de två mängderna "Tusen enkronorsmynt" och "en tusenkronorssedel": Det ena måttet, räknemåttet, ger upplysning om antalet element i en mängd, medan det andra måttet, värdemåttet, anger värdet (här i kronor) räknat av elementen i en mängd, i den mån det går att mäta mängden med ett sådant mått.

Talrepresentation

Tal kan representeras på fler olika sätt, med olika talsystem.

Markörer

Det unära talsystemet är enklaste sättet att representera tal på. Talen skrivs genom markörer, som streck på en tavla eller papper, eller som stenar. Detta sätt är vanligt för att hålla koll på sportresultat eller föra statistik.

För att beskriva stora tal är det praktiskt att inrätta nya symboler för stora tal. De romerska siffrorna är en variant av detta system.

Räkneord

Ett annat sätt att beskriva tal på är att ge varje tal ett specifikt räkneord. Dessa system är uppdelat i nivåer för att beskriva allt större tal.

Schematiskt sätt är räkneorden på svenska uppbyggt på följande sätt: Ett ord för varje tal från 0 till 19, därefter ord för varje 10-tal, antalet hundratal beskrivet från 1 till 9 eller (ännu fler beroende på sammanhang). Nästa nivå är antalet tusental, upp till en miljon. Slutligen ett system som bygger på nivåer - en miljon miljoner är en biljon, en miljon biljoner är en triljon och så vidare. För att uttala ett räkneord börjar man konsekvent med den större nivån och går till den mindre.

Räkneorden och dess uppbyggnad skiljer sig ganska kraftigt åt baserat på språk, även om de flesta språk numera baserar sina räkneord på det decimala talsystemet.

Decimala positionssystemet

Det vanligaste sättet att skriva tal på är med det decimala positionssystemet. Det är ett kraftfullt sätt att skriva tal på, och kan varieras på många sätt.

• Med decimaltecken kan det lätt utvidgas att beskriva andra tal än heltal.
• Med minustecken som markör visar den om talet är negativt.
• Med tiopotenser kan man skriva mycket stora och mycket små tal.
• Med hjälp av aritmetiska operatorer kan man beskriva tal med önskvärd precision.
  • Med procent och promille beskrivs hundradelar och tusendelar.
  • Med division kan man beskriva tal i bråk eller i blandad form.
  • Med kvadratrötter och potensuttryck kan man beskriva irrationella tal. Även andra funktioner (som logaritmer och trigonometriska funktioner) och kombinationer av dem kan användas.

Binära tal

Tal representeras med det binära talsystemet i exempelvis datorer. Med det binära talsystemet, som i praktiken är ett positionssystem, kan man representera tal på flera olika sätt. Några olika talrepresentationer.

• Teckenbelopp
• 2-komplement
• Binär offset
• 1-komplement

Vissa representationer har flera sätt att skriva talet 0 på.

Det oktala och hexadecimala talsystemen har sitt ursprung ur binära tal.

Nummer

Ett nummer är en snarlik följd av siffror med en något annorlunda funktion. Där är man inte i första hand är intresserad av matematiska talegenskaper – som till exempel värdemåttet – utan av sifferföljdens identifierande funktion. Sifferkombinationen används som ett särskiljande namn och kan i likhet med (andra) namn innehålla olika typer av tecken. IP-nummer/IP-adresser av den sjätte generationen (IPv6) kan skrivas ut både med endast siffror och med en kombination av siffror och bokstäver.

Ett nummer kan ofta innehålla andra tecken än siffror.^{[källa behövs]}

Observera att det engelska ordet number i matematiska sammanhang motsvaras av det svenska ordet tal. I mer allmänspråkliga sammanhang kan även ordet nummer användas.

Särskilda nummer är telefonnummer och postnummer. Personnummer i Sverige är ett nummerbaserat identifieringssystem för personer folkbokförda i Sverige. EAN-kod är ett internationellt nummersystem för varumärkning.

Se även

• Siffra
• Aritmetik
• Lista över tal
• Kropp
• Ring
• Vektorrum
• Modul
• Serienummer

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Tal (matematik).
  Bilder & media