Oändlig produkt

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En oändlig produkt är inom matematiken en produkt som innehåller ett oändligt antal faktorer. Om an betecknar den nte faktorn, kan en sådan produkt kan skrivas

\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 \; a_2 \; a_3 \cdots.

Konvergens[redigera | redigera wikitext]

Det finns två fall då denna produkt sägs konvergera:

  • \lim_{N\to \infty} \prod_{n=1}^N a_n = P \neq 0, eller
  • Endast ett ändligt antal a_n är lika med 0.

Om något av dessa fall är uppfyllt sägs produkten vara konvergent; i annat fall är den divergent.

Exempel på divergenta produkter[redigera | redigera wikitext]

Produkterna

  • \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} och
  • \prod_{n=1}^{\infty} 0

är inte konvergenta.

Krav för konvergens[redigera | redigera wikitext]

Om a_n>0 så konvergerar \prod_{n=1}^{\infty} (1+a_n) om och endast om \sum_{n=1}^{\infty} a_n konvergerar.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Exempel på välkända oändliga produkter är Viètes formel för talet π,

\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots,

och Wallis formel för detsamma,

\frac{\pi}{2} =  \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots.