Oändlig produkt

En oändlig produkt är inom matematiken en produkt som innehåller ett oändligt antal faktorer. Om a_n betecknar den nte faktorn, kan en sådan produkt kan skrivas

$\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 \; a_2 \; a_3 \cdots.$

Konvergens

Det finns två fall då denna produkt sägs konvergera:

• $\lim_{N\to \infty} \prod_{n=1}^N a_n = P \neq 0$, eller
• Endast ett ändligt antal $a_n$ är lika med 0.

Om något av dessa fall är uppfyllt sägs produkten vara konvergent; i annat fall är den divergent.

Exempel på divergenta produkter

Produkterna

• $\prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ och
• $\prod_{n=1}^{\infty} 0$

är inte konvergenta.

Krav för konvergens

Om $a_n>0$ så konvergerar $\prod_{n=1}^{\infty} (1+a_n)$ om och endast om $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergerar.

Exempel

Exempel på välkända oändliga produkter är Viètes formel för talet π,

$\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots$,

och Wallis formel för detsamma,

$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots.$