Olikhet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En olikhet är ett matematiskt uttryck eller en utsaga som innehåller ett olikhetstecken.

Utsagan kan antingen vara falsk eller sann. Exempel:

3 < 4 är en sann utsaga.
3 > 4 är en falsk utsaga.

En olikhet kan även innehålla en eller flera variabler. När likhet inte tillåts (som i ovanstående exempel, kallas det att olikheten är sträng eller strikt.

Då det gäller att lösa en olikhet betyder det att man skall ta reda på för vilka värden på en viss eller vissa variabler utsagan är sann.

Egenskaper hos olikheter[redigera | redigera wikitext]

Transitivitet[redigera | redigera wikitext]

Olikheter är en transitiv relation, vilket betyder att

  • För de reella talen a, b, c:
    • Om a > b och b > c; så a > c
    • Om a < b och b < c; så a < c
    • Om a > b och b = c; så a > c
    • Om a < b och b = c; så a < c

Addition och subtraktion[redigera | redigera wikitext]

  • För de reella talen a, b, c:
    • Om a < b, så a + c < b + c och a − c < b − c
    • Om a > b, så a + c > b + c och a − c > b − c

Multiplikation och division[redigera | redigera wikitext]

  • För de reella talen a, b, c:
    • Om c är positivt och a < b, så ac < bc
    • Om c är negativt och a < b, så ac > bc

Additiva inversen[redigera | redigera wikitext]

  • För de reella talen a, b:
    • Om a < b så −a > −b
    • Om a > b så −a < −b

Multiplikativa inversen[redigera | redigera wikitext]

  • För de reella talen a, b där de antingen båda är positiva eller båda negativa
    • Om a < b så 1/a > 1/b
    • Om a > b så 1/a < 1/b
  • Om antingen a eller b är negativ (men inte båda) så
    • Om a < b så 1/a < 1/b
    • Om a > b så 1/a > 1/b

Potensolikheter[redigera | redigera wikitext]

En "potensolikhet" är en olikhet som innehåller termer av formen ab där a och b är reella positiva tal eller uttryck som innehåller variabler. Några exempel är följande:

  • För alla reella x är
e^x \ge 1+x.\,
  • Om x > 0 är
x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^{1/e}.\,
  • Om x ≥ 1 är
x^{x^x} \ge x.\,
  • Om x, y, z > 0 är
(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2.\,
  • För godtyckliga olika reella tal a och b är
\frac{e^b-e^a}{b-a} > e^{(a+b)/2}.
  • Om x, y > 0 och 0 < p < 1 är
(x+y)^p < x^p+y^p.\,
  • Om x, y, z > 0 är
x^x y^y z^z \ge (xyz)^{(x+y+z)/3}.\,
  • Om a, b > 0 är
a^a + b^b \ge a^b + b^a.\,
  • Om a, b > 0 är
a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}.\,
  • Om a, b, c > 0 är
a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}.\,
  • Om a, b > 0 är
a^b + b^a > 1.\,

Exempel på olikheter[redigera | redigera wikitext]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.