Ortonormerad bas

Inom linjär algebra kan begreppet ortonormerad bas eller ortonormal bas (ON-bas) ses som ett koordinatsystem där koordinataxlarna är ömsesidigt ortogonala (det vill säga rätvinkliga) enhetsvektorer (det vill säga vektorer av längden 1). En ON-bas bestående av N vektorer spänner upp ett N-dimensionellt euklidiskt rum, vilket innebär att varje punkt eller vektor i rummet kan uttryckas som en linjärkombination av ON-basens vektorer.

Exempel [redigera]

Euklidiska rum [redigera]

I det euklidiska rummet $\mathbb{R}^3$ kan varje vektor $x = (x_1,x_2,x_3)$ skrivas som en summa av sina komposanter:

$x = x_1e_1 + x_2e_2 + x_3e_3.\,$

I denna summa ger enhetsvektorerna $e_1 = (1,0,0)$ , $e_2=(0,1,0)$ och $e_3 = (0,0,1)$ upphov till ett rektangulärt koordinatsystem i $\mathbb{R}^3$ . I detta sammanhang är det mängden av enhetsvektorer $\{e_1,e_2,e_3\}$ som utgör en ortonormerad bas för det euklidiska rummet $\mathbb{R}^3.$

Funktionsrum [redigera]

Mängden {f_n : n ∈ Z} med $f_n(x) = e^{2 \pi i n x}$ ger en ortonormerad bas på det komplexa rummet L²([0,1])

Andra rum [redigera]

Mängden {e_b : b ∈ B} med e_b(c) = 1 om b=c och 0 i övrigt ger en ortonormerad bas på rummet l²(B).

Definition [redigera]

Linjärt spann [redigera]

Låt $A \subseteq X$ vara en delmängd till ett vektorrum $X$ . Det linjära spannet av $A$ är den mängd, $span(A)$ , som består av alla linjärkombinationer

$\xi_1x_1 + \cdots + \xi_nx_n,$

vars koefficienter $\xi_k$ är komplexa tal och vars komponenter $x_k$ är element i mängden $A$ .

Total mängd [redigera]

En delmängd $A\subseteq X$ till ett normerat rum, $X$ , är en total mängd om det slutna höljet av dess linjära spann utgör hela rummet $X$ ; det vill säga om

$\overline{span(A)} = X.\,$

Ortonormerad mängd [redigera]

En delmängd $A \subseteq X$ till ett pre-Hilbertrum $X$ , säges vara en ortonormerad mängd om den inre produkten $\langle x,y\rangle$ mellan två element $x,y \in A$ är

$\langle x,y\rangle = \begin{cases}1 & x = y\\0 & x \neq y.\end{cases}$