Pappos-Guldins regel

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Pappos Guldins regel)
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematik och fysik är Guldins regel (även känd under namnen Guldins sats, Pappus centroidsats och Pappus-Guldins sats) namnet på en av två relaterade satser som används till att räkna ut ytan hos en rotationssymmetrisk kropp, eller volymen av en rotationssymmetrisk kropp.

Satsen är uppkallad efter Pappos av Alexandria och Paul Guldin.

Den första satsen[redigera | redigera wikitext]

A = sd

Den första satsen säger att arean A av en rotationsyta som uppstår genom att rotera en plan kurva C utanför C och i samma plan har är lika med produkten av båglängden s av C och avståndet d som förflyttas av dess geometriska centroiden.

Exempelvis är arean av en torus med mindre radie r och större radie R lika med

 A = (2\pi r)(2\pi R) = 4\pi^2 Rr

Den andra satsen[redigera | redigera wikitext]

V = Ad

Den andra satsen säger att volymen V av en rotationskropp som alstras genom att rotera en plan figur F runt en yttre axel är lika med produkten av arean A av området F och avståndet d som förflyttas av den geometriska tyngdpunkten.

Exempelvis är volymen av en torus med mindre radie r och större radie R lika med

 V = (\pi r^2)(2\pi R)= 2 \pi^2 Rr^2[1]

Rotationsyta[redigera | redigera wikitext]

Ytarean S för en rotationsyta är lika med produkten av bågens längd L genererat av kurvan och avståndet d som tillryggalagts av kurvans geometriska tyngdpunkt. Ytan på revolutionen skapas av rotationen av en kurva om en godtycklig axel. Denna regel kallas även den första satsen av Pappus eller Guldins första regel. (Se http://matmin.kevius.com/klot.php)

Volymen av en solid revolution[redigera | redigera wikitext]

Volymen V av en fast substans av revolution är lika med produkten av området av den roterade formen och den sträcka av formens geometriska centroid. Volymen av revolutionen skapas av rotationen av en godtycklig form kring en extern axel. Denna regel kallas även den andra satsen av Pappus eller Guldin andra regel.

Ett område D ligger helt på en sida om linjen L. Områdets tyngdpunkt är markerad.

Exempel: volymrotationer och rotationsareor[redigera | redigera wikitext]

I exemplet nedan ska vi roterar en kurva kring en sned linje. Vi bestämmer volymen för kroppen som alstras med hjälp av Pappos-Guldins regel: Volymen = tyngdpunktensväg · arean Området D = {(x,y): x^2 + y\ge 1, x + y\le 1} roteras ett varv kring linjen x + y = 1. Beräkna volymen av rotationskroppen. Lösning: Figur: Rotationskroppen (till höger)[2]

Rotationskropp

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Pappus's centroid theorem, 15 juli 2014.
  1. ^ http://en.wikipedia.org/wiki/Guldinus_theorem
  2. ^ webstaff.itn.liu.se/~geoba/TNA008/Forelasningar/F13.pdf