Pappos-Guldins regel

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Pappos Guldins regel)
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Pappus-Guldins regel (även känd som Guldins sats, Pappus centroidsats och Pappus-Guldins sats) en av två relaterade satser som används för att beräkna ytan respektive volymen för en rotationssymmetrisk kropp.

Satserna är uppkallade efter Pappos av Alexandria och Paul Guldin.

Regeln för rotationsyta[redigera | redigera wikitext]

TP är positionen för den plana kurvans tyngdpunkt

Om en plan kurva med längden s roterar kring en i planet belägen axel, som ej skär kurvan, uppstår en rotationsyta med arean

A = kurvans längd × tyngdpunktens väg, eller

A = \alpha\,s\cdot r_{tp}

där r_\text{tp} är det vinkelräta avståndet från kurvans tyngdpunkt till rotationsaxeln och där \alpha är rotationen i radianer med \alpha\leq 2\pi

Exempel:

Arean av en torus med den mindre radien r och den större radien R, är

 A = 2\pi\,2\pi r\,R = 4\pi^2\,r R

Regeln för rotationskropp[redigera | redigera wikitext]

TP är positionen för den plana ytans tyngdpunkt

Då ett plant ytstycke med arean A, roterar kring en axel i samma plan, som ej skär ytan, uppstår en rotationskropp med volymen

V = ytans storlek × tyngdpunktens väg, eller

V = \alpha\, A\cdot r_{tp}

där r_\text{tp} är det vinkelräta avståndet från ytans tyngdpunkt till rotationsaxeln och \alpha är rotationen i radianer med \alpha\leq 2\pi

Exempel:

Volymen av en torus med den mindre radien r och den större radien R, är

V = 2\pi\,r^2\pi\,R = 2\pi^2\,R\,r^2

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Reglerna kan generaliseras för godtyckliga kurvor och former under lämpliga antaganden.[1]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Goodman, A. W.; Goodman, G.. ”Generalizations of the Theorems of Pappus”. The American Mathematical Monthly. http://www.jstor.org/discover/10.2307/2316426?uid=2129&uid=2&uid=70&uid=4&sid=21104382078753. Läst 2014-06-28. 

Extern länk[redigera | redigera wikitext]