Parallellogramlagen

Parallellogramlagen är inom matematik en ekvation som kan ses i olika sammanhang. Det enklaste sammanhanget är i vanlig geometri.

Geometri

I geometri säger parallellogramlagen att summan av kvadraterna av längderna av ett parallellograms sidor är lika med summan av kvadraterna av diagonalerna:

$AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = AC^2 + BD^2$.

Normerade rum

I samband med normerade rum menas med parallellogramlagen följande ekvation:

$\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$.

Alla normerade rum uppfyller inte denna ekvation. Om rummet är ett inre produktrum med en inducerad norm enligt:

$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$

så är parallellogramlagen sann. Omvänt, om en norm uppfyller parallellogramlagen kan man från normen göra en inre produkt via polarisationsidentiteten.