Parsevals formel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Parsevals formel eller Parsevals sats är en sats inom Fourieranalys som relaterar en integral av en funktion till dess Fourierkoefficienter. Satsen har sitt ursprung i en sats om serier från 1799 av Marc-Antoine Parseval som senare tillämpades på Fourierserier.

Parsevals formel ger ett villkor för när likhet uppstår i Bessels olikhet. En liknande sats är Plancherels sats.

Formulering[redigera | redigera wikitext]

Parsevals formel har en formulering om rummet L^2[T] som är vanligt förekommande inom tillämpningar, men även en formulering om allmänna inre produktrum. Formuleringen i L^2[T] är ett specialfall av den allmänna formuleringen.

Fourierserier[redigera | redigera wikitext]

I rummet L^2[T] säger Parsevals formel att för två funktioner f och g i rummet gäller att:

\frac{1}{T}\int_T f(t)\overline{g(t)}dt = \sum_{n = -\infty}^\infty a_n\overline{b_n}

och

\frac{1}{T}\int_T |f(t)|^2 dt = \sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2

där a_n och b_n är Fourierkoefficienterna till f respektive g givet av:

a_n =\frac{1}{T} \int_T f(t)e^{-int} dt

Inre produktrum[redigera | redigera wikitext]

En allmännare form av Parsevals sats behandlar allmänna inre produktrum. Låt V vara ett inre produktrum, då säger Parsevals sats att en följd (f_k) av ortonormala element i V är fullständig (dvs, det linjära höljet av (f_k) är tät i V) om och endast om

\|x\| = \sum_{k=1}^\infty |\langle x, v_k \rangle|

för alla x i V. Som en följd av Parsevals sats får man att om (f_k) är ett fullständigt ortonormalt system i V kan varje x i V skrivas som en summa (Fourierserie):

x = \sum_{k=1}^\infty \langle x, v_k \rangle f_k

och serien konvergerar i inre produktrummets norm:

\lim_{N \to \infty} \left\|u - \sum_{k=1}^N \langle x, f_k \rangle f_k\right\|= 0.

Man får även följande likhet för att räkna ut skalärprodukten mellan två element genom att använda koefficienterna:

\langle u, v \rangle = \sum_{k=1}^\infty \langle u, f_k \rangle \overline{\langle v, f_k \rangle}.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 
  • Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer Verlag. ISBN 0-387-00836-5 
  • Yosida, Kosaku (1980). Functional Analysis. Springer Verlag. ISBN 0-387-10210-8