Partialbråksuppdelning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Partialbråksuppdelning är en metod som används för att dela upp ett givet bråk \frac{r(x)}{h(x)} i så kallade partialbråk. Denna metod är mycket användbar i matematisk analys och vid inverstransformering av rationella Laplacetransformer.

Utgångspunkten är att det givna bråket är ett äkta bråk, det vill säga att täljaren har lägre gradtal än nämnaren och att nämnaren är faktoriserad så långt som möjligt. Målet är att finna partialbråk som vart och ett använder en av dessa faktorer som nämnare så att summan av alla partialbråken motsvarar det ursprungliga bråket.

Partialbråken konstrueras genom att identifiera faktorer i nämnaren enligt följande tabell (alla tal är reella):

Faktor i nämnaren Ger upphov till partialbråken
x+a \frac{A_1}{x+a}
(x+a)^n \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_2}{(x+a)^2}+\ldots+\frac{A_n}{(x+a)^n}
x^2+ax+b \frac{A_1x+B_1}{x^2+ax+b}
(x^2+ax+b)^n \frac{A_1x+B_1}{x^2+ax+b} + \frac{A_2x+B_2}{(x^2+ax+b)^2} + \ldots + \frac{A_nx+B_n}{(x^2+ax+b)^n}

Bråk med nämnare av andra graden är partialbråk endast om andragradsuttrycken saknar reella nollställen (annars kan de faktoriseras). Koefficienterna A_k och B_k är entydigt bestämda (vilket kan bevisas).

Ett konkret exempel[redigera | redigera wikitext]

Partialbråksuppdela: \frac{2x^2+x-3}{(x+1)^2(x+2)}

Vi identifierar faktorer i nämnaren och konstruerar partialbråk (med hjälp av tabellen ovan):

\frac{2x^2+x-3}{(x+1)^2(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+2}

Det som återstår är att bestämma koefficienterna A, B och C. Detta kan göras genom att multiplicera hela det högra ledet med den ursprungliga nämnaren, som står till vänster. Därefter förkortas uttrycken och sedan ordnas alla termer efter dess gradtal. Vi får då:

2x^2+x-3=(A+C)x^2+(3A+B+2C)x+(2A+2B+C)

Genom att identifiera de termer i både vänster- och högerledet som har samma gradtal bildar vi ett ekvationssystem:

A+C=2

3A+B+2C=1

2A+2B+C=-3

Detta linjära ekvationssystem kan lösas med exempelvis successiv elimination eller gausselimination, varpå vi får följande ekvivalenta system:

A=-1, B=-2, C=3

Därmed är partialbråksuppdelningen klar:

\frac{2x^2+x-3}{(x+1)^2(x+2)}=-\frac{1}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{3}{x+2}

Handpåläggning[redigera | redigera wikitext]

Istället för att identifiera koefficienter, så kan man sätta in olika värden på x som gör de olika faktorerna lika med noll, för varje sådant värde multiplicerar man båda leden med den motsvarande faktorn som man valt för att just eliminera denna faktor. I exemplet ovan skulle det innebära x=-1 och -2. Dessutom får man ta en godtycklig annan punkt, eftersom nämnaren har en dubbelrot i x=-1.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2 uppl). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-02056-2 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.