Partialintegration

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Partialintegration eller partiell integration är ett sätt att lösa integraler på genom att se integranden som en produkt mellan två funktioner och byta en deriveringsoperator verkande på den ena termen mot en annan verkande på den andra. Inom envariabelanalys sker detta genom följande formel, där f(x) och g(x) är två godtyckliga deriverbara funktioner:

\int f(x)g(x)dx= [F(x)g(x)]-\int F(x)g'(x)dx

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Beviset är egentligen bara en kombination av produktregeln och analysens fundamentalsats. Som ovan utnyttjas att F'(x) = f(x):

[F(x)g(x)]_a^b=\int_a^b (F(x)g(x))' dx=\int_a^b f(x)g(x)+F(x)g'(x) dx= \int_a^b F(x)g'(x) dx +\int_a^b f(x)g(x) dx

Genom att flytta över en av termerna är man sedan färdig.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Ett flertal integraler är enbart analytiskt lösbara genom partiell integration. Dels finns det ett antal som direkt bygger på partiell integration. De mest elementära exemplen på dessa är de med integrander på formen p(x)f(x), där p(x) är ett godtyckligt polynom och f(x) är en exponentialfunktion eller trigonometrisk funktion. På dessa låter man polynomet successivt deriveras bort.

Ett vanligt trick är att när man har en integrand som till synes enbart består av en enda funktion, som man dock inte känner någon primitiv funktion till. I dessa fall är det vanligt att man anser integranden består av funktionen '1' multiplicerat med den ursprungliga funktionen, som man förhoppningsvis känner derivatan till. Standardexemplet på detta är logaritmfunktionen:

\int \ln x dx= \int 1\cdot \ln x dx=\int \frac{d}{dx}(x)\cdot \ln x dx = x\ln x -\int x \frac{d}{dx}(\ln x)dx=x\ln x- \int x\cdot \frac{1}{x}dx =x\ln x - x + C