Peanos axiom

Peanos axiom är ett postulatsystem innehållande fem postulat (ibland förekommer fler) för de naturliga talen. De primitiva begreppen i detta system är tal, 0 (ibland 1), och efterföljare, S(x). Utifrån detta postulatsystem kan man härleda alla satser inom den elementära aritmetiken.

0 är ett tal.	$0 \in \mathbb{N}$
Efterföljaren till ett tal är alltid ett tal.	$\forall x ~ ((x \in \mathbb{N}) \rightarrow (S(x) \in \mathbb{N}))$
Två olika tal har aldrig samma efterföljare.	$\forall x \forall y ~ (S(x) = S(y) \rightarrow x = y)$
0 är inte efterföljare till något tal.	$\forall x ~ S(x) \neq 0$
Om P är en egenskap sådan, att 0 har denna egenskap, och närhelst ett tal n har egenskapen P, så har också efterföljaren till n egenskapen P; så har varje tal egenskapen P.	$(P(0) \and \forall x ( P(x) \rightarrow P(S(x)))) \rightarrow \forall x ~ P(x)$

Det börjar med 0 eftersom man definierar 0 som naturligt. 0 definieras som tomma mängden Ø, 1 som mängden av noll = {0} = {Ø} och 2 som mängden av noll och ett ({Ø,{Ø}}), och så vidare. Nollan är ett kardinaltal.

Utifrån dessa axiom, som formulerades av Giuseppe Peano 1889, kan man definiera och härleda egenskaper hos de aritmetiska operationerna. Exempelvis att summan x + y, av två tal x och y, definieras som en operation med egenskaperna

• $\forall x ~ x + 0 = x$
• $\forall x \forall y ~ x + S(y) = S(x+y)$

Referenser

• Landau: "Grundlagen der Analysis", en närmast komplett redovisning av hur ordnings- och räknereglerna för de olika talområdena kan härledas ur Peanos axiom.

Se även

• Naturligt tal

Externa länkar

• Vad är ett naturligt tal?