Perron-Frobenius sats

Inom matematiken är Perron-Frobenius sats en sats om icke-negativa och positiva matriser, uppkallad efter matematikerna Oskar Perron och Ferdinand Georg Frobenius.

För positiva matriser

Låt A vara en positiv kvadratisk matris. Då gäller:

• Det finns ett positivt egenvärde $\lambda$ till A som har en tillhörande positiv egenvektor v.
• $\lambda$ är till beloppet större än alla andra egenvärden till A.
• Alla andra positiva egenvektorer till A är en multipel av v.
• $\lambda$ har algebraisk multiplicitet 1.

För icke-negativa matriser

Låt A vara en icke-negativ kvadratisk matris. Då gäller:

• Det finns ett positivt egenvärde $\lambda$ till A som har en tillhörande icke-negativ egenvektor v.
• $\lambda$ är till beloppet större än eller lika med alla andra egenvärden till A.
• Alla andra positiva egenvektorer till A är en multipel av v.
• $\lambda$ har algebraisk multiplicitet 1.

Om A är en irreducibel matris så gäller att v inte bara är icke-negativ, utan positiv.

Bevisskiss

Bevisskiss att satsen gäller i $\mathbb{R}^3$.

Givet är en icke-negativ 3x3-matris $A$. Vi tar en icke-negativ vektor $v$. Det inses lätt att avbildningen $Av$ då också är icke-negativ, dvs avbildar den första oktanten på sig själv. Vi definierar funktionen:

$f(x) = \frac{Ax}{\|Ax\|}$

Värdemängden till $f(x)$ är då enbart enhetsvektorer, och vi ser att $f(x)$ avbildar mängden av alla enhetsvektorer i första oktanten på sig själv, dvs mängden $K = \{x \in R^3: x \geq 0, \|x\| = 1 \}$, med andra ord den del av enhetssfären som ligger i första oktanten. Denna mängd är homeomorf med en skiva i planet. Vi kan då använda Brouwers fixpunktssats, som säger att det finns ett $u$ så att $f(u) = u$, vilket ger att:

$\frac{Au}{\|Au\|} = u \Rightarrow Au = \|Au\|u$

Dvs, $u$ som ligger i första oktanten (och därför är icke-negativ) är en egenvektor, och har egenvärdet $\|Au\| \geq 0$ (eftersom $\forall{x}: \|x\| \geq 0$). Alltså har $A$ en positiv egenvektor med tillhörande positivt egenvärde.