Perrons formel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken, speciellt inom analytisk talteori, är Perrons formel en formel av Oskar Perron som räknar summafunktionen av en aritmetisk funktion med hjälp av dess inversa an Mellintransformation.

Satsen[redigera | redigera wikitext]

Låt \{a(n)\} vara en aritmetisk funktion och låt

 g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}}

vara dess Dirichletserie. Anta att Dirichletserien är absolut konvergent för \Re(s)>\sigma_a. Då är Perrons formel

 A(x) = {\sum_{n\le x}}^{\star} a(n)
=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} g(z)\frac{x^{z}}{z}  dz.\;

Här betecknar ' att den sista termen multipliceras med 1/2 då x är ett heltal. Formeln kräver att c>\sigma_a och x>0 är reella tal, men för övrigt godtyckliga.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

P.g.a. dess relation till Dirichletserier används Perrons formel ofta för att få information om talteoretiska summor. Exempelvis får man ur Dirichletserien för Möbiusfunktionen

 \frac{1}{\zeta(s) }= \prod_{p} (1-p^{-s})= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}

integralrepresentationen

 \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{x^{s}}{s\zeta(s)} \, ds = M(x)

för dess summafunktion, Mertensfunktionen, där c > 1.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Perron's formula, 31 mars 2014.